第七章 参数估计
1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）
2
2
求总体均值μ及方差σ的矩估计，并求样本方差S。
解：μ，σ的矩估计是 S2?6.86?10?6。
2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
2
??X?74.002?1n???(Xi?x)2?6?10?6 ,?ni?12?θcθx?(θ?1),x?c（1）f(x)??
0,其它???θxθ?1,0?x?1（2）f(x)??
?0,其它.?（5）P(X?x)?解：（1）E(X)?得θ?其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。
其中θ>0，θ为未知参数。
??pmxx(1?p)m?x,x?0,1,2,?,m,0?p?1,p为未知参数。
?????xf(x)dx????cθcθ?θ?1θcθcθcxdx?c?,令?X，
θ?1θ?1θ?1θ?θX X?c（2）E(X)??????xf(x)dx??10θxθdx?θθX2,令?X,得θ?()
1?Xθ?1θ?1（5）E (X) = mp
??令mp = X， 解得pX m3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数
L(θ)??f(x)?θii?1nncnθ(x1x2?xn)?θ?1
ndlnL(θ)θlnL(θ)?nln(θ)?nθlnc?(1?θ)lnxi,??nlnc?dθni?1?n?lnxi?1i?0
θ??n?lnxi?1n （解唯一故为极大似然估计量）
i?nlnc（2）L(θ)??f(x)?θii?1nn?n2(x1x2?xn)θ?1?n,lnL(θ)?ln(θ)?(θ?1)lnxi
2i?1?ndlnL(θ)?n11???dθ2θ2θ计量。
?lnxi?1i?0,θ??(n?lnx)ii?1nn2。(解唯一)故为极大似然估
（5）L(p)?n?i?1n?m?P{X?xi}???x?????x??p?1??n?nnxi?m??i?1mn?(1?p)?xii?1n，
lnL(p)??ln????xmxii?1i?1ilnp?(mn?n?x)ln(1?p),
ii?1dlnL(p)?dp?xi?1nimn???xi?1ipni1?p?0
?x解得 p?i?2mn?X，（解唯一）故为极大似然估计量。 m4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=X为矩估计量。
n（2）极大似然估计L(λ)??i?1nP(xi;λ)?λi?1e?nλ，
x1!x2!?xn!?xinlnL(λ)??xi?1nilnλ??lnx!?nλ
ii?1dlnL(λ)?dλ?xi?1niλ?n?0,解得λ??X为极大似然估计量。
λxi?λe,xi?0,1,?) （其中p(xi;λ)?P{X?xi}?xi!5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数 观察到石灰石的样品个数 0 0 1 1 2 6 3 7 4 5 6 7 8 3 9 1 10 0 23 26 21 12 解：λ的极大似然估计值为λ?=X= [四(1)] 设总体X具有分布律
X 1 2 2θ(1－3 Pk θ2 (1－θ) 2θ) 其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：（1）求θ的矩估计值
E(X)?1?θ2?2?2θ(1?θ)?3(1?θ)2?[θ?3(1?θ)][θ?(1?θ)]?3?2θ 令E(X)?3?2θ?X
??3?X? 则得到θ的矩估计值为θ2（2）求θ的最大似然估计值 似然函数L(θ)?3?1?2?153?
26?P{Xi?13i?xi}?P{X1?1}P{X2?2}P{X3?1}
?θ2?2θ(1?θ)?θ2?2θ(1?θ)5
ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导
dlnL(θ)51???0 dθ61?θ5得到唯一解为θ??
68．[九(1)] 设总体X ~N（μ，σ ），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使c2
?(Xi?1n?1i?1?Xi)2为σ2的无偏估计。
解：由于
E[c?(Xi?1?Xi)]?c[?E(Xi?1?Xi)]?c?D(Xi?1?Xi)2?(E(Xi?1?Xi))2]22i?1i?1i?1n?1n?1n?1 =c?[D(Xi?1n?1i?1)?D(Xi)?(EXi?1?EX1)]?c2?(2σi?1n?12?02)?c(2n?1)σ2
n?11时,c?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计。 当c?2(n?1)i?1
[十] 设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量
T1?11(X1?X2)?(X3?X4) 63T2?(X1?2X2?3X3?4X4)5
T3?(X1?X2?X3?X4)4
（1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以
E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2,
由数学期望的性质2°，3°有
i=1,2,3,4
E(T1)?E(T2)?E(T3)?11[E(X1)?E(X2)]?[E(X3)?E(X4)]?θ 631[E(X1)?2E(X2)?3E(X3)?4E(X4)]?2θ 51[E(X1)?E(X2)?E(X3)?E(X4)]?θ 4即T1，T2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知
D(T1)?D(T2)?1152[D(X1)?D(X2)]?[D(X3)?D(X4)]?θ 3691811[D(X1)?D(X2)?D(X3)?D(X4)]?θ2 164D (T1)> D (T2)
所以T2较为有效。
14.[十四] 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ），求μ的置信度为的置信区间。（1）若由以往经验知σ=（小时）（2）若σ为未知。
σ解：（1）μ的置信度为的置信区间为（X?， zα）
n20.6计算得X?6.0,查表z0.025?1.96,σ?0.6,即为(6.0??1.96)?(5.608,6.392)
9S（2）μ的置信度为的置信区间为（X?，计算得X?6.0，查表(8)=. tα(n?1)）
n22
1910.33S??(xi?x)2??2.64?0.33.故为(6.0??2.3060)?(5.558,6.442)8i?1832
16.[十六] 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为的置信区间。
解：σ的置信度为的置信区间为
(n?1)S2(n?1)S28?118?11(,)?(,)?(7.4,21.1) 22??(n?1)??(n?1)17.5352.1821?2
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
