§1.2 充分条件与必要条件
课时目标 1.结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)
某些命题的条件关系.
1.如果已知“若p,则q”为真,即p?q,那么我们说p是q的____________,q是p的____________.
2.如果既有p?q,又有q?p,就记作________.这时p是q的______________条件,简称________条件,实际上p与q互为________条件.如果p?q且q?p,则p是q的________________________条件.
一、选择题
1.“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设p:x<-1或x>1;q:x<-2或x>1,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设集合M={x|0 5.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7.用符号“?”或“?”填空. (1)a>b________ac2>bc2; (2)ab≠0________a≠0. 8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2 9.函数y=ax2+bx+c (a>0)在[1,+∞)上单调递增的充要条件是__________. 三、解答题 10.下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件: (1)p:|x|=|y|,q:x=y. (2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形; (3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形. 11.已知P={x|a-4 能力提升 12.记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max{x1,x2,…,xn},最小数为 min{x1,x2,…,xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为 ?abc??abc? l=max?b,c,a?·min?b,c,a?, ???? 则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件. 1.判断p是q的什么条件,常用的方法是验证由p能否推出q,由q能否推出p,对 于否定性命题,注意利用等价命题来判断. 2.证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A的充要条件为B”的命题的证明:A?B证明了必要性;B?A证明了充分性.“A是B的充要条件”的命题的证明:A?B证明了充分性;B?A证明了必要性. §1.2 充分条件与必要条件 答案 知识梳理 1.充分条件 必要条件 2.p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计 1.A [对于“x>0”?“x≠0”,反之不一定成立. 因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.] 2.A [∵q?p,∴綈p?綈q,反之不一定成立, 因此綈p是綈q的充分不必要条件.] 3.B [因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件.] 4.A [把k=1代入x-y+k=0,推得“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”;但“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”不一定推得“k=1”.故“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分而不必要条件.] 5.A [l⊥α?l⊥m且l⊥n,而m,n是平面α内两条直线,并不一定相交,所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.] 1 6.B [当a<0时,由韦达定理知x1x2=<0,故此一元二次方程有一正根和一负根,符 a 合题意;当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时,a可以为0,因为当a=0时,该方程仅有 1 一根为-,所以a不一定小于0.由上述推理可知,“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一 2 个负数根”的充分不必要条件.] 7.(1) ? (2)? 8.a>2 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2 9.b≥-2a b 解析 由二次函数的图象可知当-≤1,即b≥-2a时,函数y=ax2+bx+c在 2a [1,+∞)上单调递增. 10.解 (1)∵|x|=|y|?x=y, 但x=y?|x|=|y|, ∴p是q的必要条件,但不是充分条件. (2)△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形. △ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形. ∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件. (3)四边形的对角线互相平分?四边形是矩形. 四边形是矩形?四边形的对角线互相平分. ∴p是q的必要条件,但不是充分条件. 11.解 由题意知,Q={x|1 ∴实数a的取值范围是[-1,5]. 12.A [当△ABC是等边三角形时,a=b=c, ?abc??abc? ∴l=max?b,c,a?·min?b,c,a?=1×1=1. ???? ∴“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件. ?abc?c ∵a≤b≤c,∴max?b,c,a?=. ??a?abc?a 又∵l=1,∴min?b,c,a?=, ??c aaba即=或=, bccc 得b=c或b=a,可知△ABC为等腰三角形,而不能推出△ABC为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件.] 13.解 当{an}是等差数列时,∵Sn=(n+1)2+c, ∴当n≥2时,Sn-1=n2+c, ∴an=Sn-Sn-1=2n+1, ∴an+1-an=2为常数. 又a1=S1=4+c, ∴a2-a1=5-(4+c)=1-c,
人教a版数学【选修1-1】作业:1.2充分条件与必要条件(含答案)
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