x＋y－2≤0，??4
【训练1】 (1)若不等式组?x＋2y－2≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m3
??x－y＋2m≥0
的值为( ) A.－3 4
C. 3
B.1 D.3
x＋y＋a≤1，??
(2)已知a∈R，若存在实数x，y满足?x－y＋2a≤0，则实数a的取值范围为( )
??x＋y＋2a≥0，
1??A.?－∞，?
2??
C.[－1，＋∞)
B.(－∞，－1]
?1?D.?，＋∞?
?2?
解析 (1)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，
由?
?x＋y－2＝0，?
?x＝1－m，?
解得?即A(1－m，1＋m).
??x－y＋2m＝0，y＝1＋m，??
24
x＝－m，??33??x＋2y－2＝0，
?由解得? ?x－y＋2m＝0，22?
??y＝3＋3m，
11?2422?即B?－m，＋m?，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋
22?3333?2142
2m)·(1＋m)＝(1＋m)＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.
333
(2)要使得存在实数x，y满足不等式组所表示的可行域如图所示(含边界)，即1－a≥－2a，得a≥－1，故选C.
答案 (1)B (2)C
考点二 线性规划相关问题 角度1 求线性目标函数的最值
多维探究
x－3y＋4≥0，??
【例2－1】 (2019·浙江卷)若实数x，y满足约束条件?3x－y－4≤0，则z＝3x＋2y的最大
??x＋y≥0，
值是( ) A.－1 C.10
B.1 D.12
解析 如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1，1)，B(1，－1)，C(2，2)为顶点的△ABC33z区域(包含边界).作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2，2)时，z取得最
222大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C.
答案 C
角度2 求非线性目标函数的最值
x≥0，??
【例2－2】 (1)已知实数x，y满足不等式组?x－2y≤0，则(x－1)2＋(y＋2)2的取值范围是
??x＋y－3≤0，
( ) A.[1，5] C.[5，25]
B.[5，5] D.[5，26]
x－y－2≤0，??
(2)(2019·浙江名师预测卷五)设实数x，y满足?x＋2y－4≥0，则z＝6x－3y的最大值为
??y－2≤0，
________，z1＝
y＋1
的取值范围为________. x2
解析 (1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.因为(x－1)＋(y＋2)表示平面区域内的点到点P(1，－2)的距离的平方，直线PO：y＝－2x与直线x－2y＝0垂
2
直，由图知，点P(1，－2)到直线x－2y＝0的距离的平方为所求最小值，即为?2
2
?|1－2×（－2）|?
?
5??
2
＝5，与点A(0，3)的距离的平方为所求最大值，即为(0－1)＋[3－(－2)]＝26，所以所求取值范围为[5，26]，故选D.
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(含边界)，由图知目标函数z＝6x－3y过点(4，2)时取得最大值为zmax＝6×4－3×2＝18.目标函数z1＝
y＋1
表示x≠0时阴影部分x5
内的点与点(0，－1)的连线的斜率，故z1有最小值，当阴影部分内的点(x0，y0)(x0≠0)逐渐
8
?5?靠近点(0，2)时，点(x0，y0)与点(0，－1)的连线的斜率逐渐趋于＋∞，所以z1∈?，＋∞?. ?8?
?5?答案 (1)D (2)18 ?，＋∞?
?8?
角度3 求参数的值或范围
1
x－y＋1≥0，??2
【例2－3】 (1)已知x，y满足条件?若z＝mx＋y取得最大值的最优解不唯一，
x＋y≤2，??x－2y≤2，则实数m的值为( ) A.1或－2 C.－1或－2
1
B.1或－
21
D.－2或－ 2
x－y≥0，??
(2)已知实数x，y满足约束条件?x＋y－2≤0，若z＝2x＋y在点(0，0)处取得最小值，则z??x＋2y＋a≥0，
＝2x＋y的最大值是( ) A.3 C.5
B.4 D.6
解析 (1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包1
含边界)，由图易得当目标函数z＝mx＋y与直线x＋y＝2或x－y＋1＝0平行时，目标函数
2取得最大值的最优解不唯一，所以m＝1或m＝－2.
(2)由目标函数z＝2x＋y在点(0，0)处取到最小值，则边界直线x＋2y＋a＝0过点(0，0)，故a＝0，因此约束条件所对应的平面区域为△AOB内部(含边界)，如图所示，则目标函数z＝2x＋y移至点A(4，－2)时有最大值为6，故选D.
答案 (1)A (2)D
规律方法 线性规划两类问题的解决方法
(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝（x－a）＋（y－b）；③斜率型：形如z＝
2
2
y－b. x－a(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.
【训练2】 (1)(角度1)若实数x，y满足x＋y≤1，则|x＋y－1|＋2x＋3y＋1的最大值是( ) A.5 C.4
B.D.23
517 4
2
2
x≥1，??22
(2)(角度2)(2019·温州适应性测试)已知实数x，y满足?x－y≤0，则z＝x＋y的最大
??x＋2y－6≤0，
值为( ) A.2 C.4
B.22 D.8
2x－y＋1≤0，??
(3)(角度3)已知实数x，y满足约束条件?x＋y－1≥0，若z＝tx＋y的最小值为1，则实数t??x＋2y－4≤0，的取值范围是( ) A.t≤－2 C.t≥1
B.－2≤t≤1 D.t≤－2或t≥1
?34?解析 (1)当x＋y≥1时，z＝|x＋y－1|＋2x＋3y＋1＝3x＋4y在点?，?处有最大值5，当x?55?
＋y<1时，z＝|x＋y－1|＋2x＋3y＋1＝x＋2y＋2在点(0，1)处有最大值4，所以|x＋y－1|＋2x＋3y＋1的最大值是5，故选A.
?5?(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，2)，(1，1)，?1，??2?
为顶点的三角形及其内部，z＝x＋y表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易得平面区域内的点(2，2)到原点的距离最大，则zmax＝2＋2＝8.故选D.
(3)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线tx＋y＝0经过直线2x－y＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点C(0，1)时，目标函数z＝tx＋y的值为1，则目标函数z＝tx＋y要取得最小值1，直线z＝tx＋y必过点C(0，1).当t≥0时，则－t≥－1，即0≤t≤1；当t＜0时，则－t≤2，即－2≤t<0.综上可知，实数t的取值范围是－2≤t≤1，故选B.
2
2
2
2
答案 (1)A (2)D (3)B
浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析
