第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
知 识 梳 理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.线性规划的有关概念
名称 线性约束条件 件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 [常用结论与易错提醒]
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
关于x，y的解析式 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 意义 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，
zbzbzzz也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；
bb截距取最小值时，z取最大值.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.( )
解析 (1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方. (4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0，0) C.(－1，3)
B.(－1，1) D.(2，－3)
zbzb解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C
??x－3y＋6≥0，
3.(必修5P86T3改编)不等式组?表示的平面区域是( )
?x－y＋2<0?
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故选B. 答案 B
x≤2，??
4.(2024·北京卷)若x，y满足?y≥－1，则y－x的最小值为________，最大值为
??4x－3y＋1≥0，
________.
解析 作出可行域，如图阴影部分所示.
设z＝y－x，则y＝x＋z.
z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2，3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2
＝－3. 答案 －3 1
x≤1，??
5.实数x，y满足?x＋2y－1≥0，若z＝3x＋y的最小值为1，则正实数k＝________.
??x－ky≥0，
解析 因为k>0，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，?
?k，1?，?1，1?为顶
????2＋k2＋k??k?
点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z＝3x＋y经过平面区域内点
?k，1?时，z＝3x＋y取得最小值z＝3k＋1＝1，解得k＝1. ?2＋k2＋k?min
2＋k2＋k2??
1
答案 2
x＋y－1≥0，??
6.(2024·嘉兴测试)在平面直角坐标系中，不等式组?x≤1，所表示的平面区域的面积
??y≤3x＋1
等于________，z＝2x＋y的取值范围是________. 解析 不等式组
x＋y－1≥0，????x＝1，
表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由? ?x≤1，
?x＋y－1＝0???y≤3x＋1
可得C(1，0)，
???x＝1，?x＋y－1＝0，1
由?可得B(1，4)，由?可得A(0，1)，则平面区域的面积为×4×1
2?3x－y＋1＝0?3x－y＋1＝0??
＝2.当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B时取得最大值6，经过点A时取得最小值1，所以z的取值范围是[1，6]. 答案 2 [1，6]
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
y≥0，??
【例1】 (1)设不等式组?x＋y≤1，所表示的区域面积为S(m∈R).若S≤1，则( )
??y≥mxA.m≤－2 C.0 B.－2≤m≤0 D.m≥2 x＋2y－4≤0，?? (2)(一题多解)(2024·杭州四中仿真模拟)若不等式组?ax＋3y－4≥0，表示的平面区域是等 ??y≥0 腰三角形区域，则实数a的值为________. 解析 (1)如图，当x＋y＝1与y＝mx的交点为(－1，2)时，阴影部分的面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A. ??x＋2y－4≤0， (2)法一 不等式组?表示的平面区域是如图①所示的阴影区域，而直线ax＋3y?y≥0? ?4?－4＝0过定点?0，?，且不等式ax＋3y－4≥0表示不含原点的区域，故若不等式组?3? x＋2y－4≤0，?? ?ax＋3y－4≥0，表示的平面区域是等腰三角形区域，则只能为如图②所示的△ABC，其中AB??y≥0 ＝AC. a1 ∴tan ∠OAC＝，tan ∠ABC＝，且∠OAC＝2∠ABC， 32a2tan ∠ABC4 ∴＝tan∠OAC＝＝，解得a＝4. 2 31－tan∠ABC3 图① 图② 法二 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其中边界直线ax＋3y－4 ?4?＝0过定点?0，?，则由图易得当a≤0时，得到的平面区域不是三角形，不符合题意；当a?3? ＞0时，易得三角形的三个顶点为? 2 2 ?4，4－4a?，?4，0?，(4，0)， ??? ?3－2a3－2a??a? 则有?4－4?＋?4－4a?＝?4－4?，解得a＝4. ?3－2aa??3－2a??a??????? 答案 (1)A (2)4 规律方法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.
浙江省2024届高考数学一轮复习第二章不等式第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析
