求曲线方程的常用方法
求曲线方程的常用方法
曲线方程的求法就是解析几何的重要内容与高考的常考点.求曲线方程时,应根据曲线的不同背景,不同的结构特征,选用不同的思路与方法,才能简捷明快地解决问题.下面对其求法进行探究. 1.定义法
求曲线方程时,如果动点轨迹满足已知曲线的定义,则可根据题设条件与图形的特点,恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系,再由曲线定义直接写出方程,这种方法叫做定义法. 例1 如图,点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点,动点M在圆周上,将纸片折起,使点M与点A重合,设折痕m交线段CM于点N、现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中,设圆C:(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1),A(1,0),记点N的轨迹为曲线E、
(1)证明曲线E就是椭圆,并写出当a＝2时该椭圆的标准方程;
(2)设直线l过点C与椭圆E的上顶点B,点A关于直线l的对称点为点Q,若椭圆E的离心率
?2?
e∈??,求点Q的纵坐标的取值范围.
3?2?
解 (1)依题意,直线m为线段AM的垂直平分线, ∴|NA|＝|NM|、
∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2,
∴N的轨迹就是以C、A为焦点,长轴长为2a,焦距为2的椭圆. 当a＝2时,长轴长为2a＝4,焦距为2c＝2, ∴b2＝a2－c2＝3、
x2y2
∴椭圆的标准方程为＋＝1、
43
x2y2
(2)设椭圆的标准方程为2＋2＝1 (a>b>0).
ab由(1)知:a2－b2＝1、又C(－1,0),B(0,b), xy
∴直线l的方程为＋＝1,即bx－y＋b＝0、
－1b设Q(x,y),∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称,
1
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?∴?x＋1y
b·－＋b＝0?22
12
y·b＝－1x－1
4b
消去x得y＝2、
b＋1
??1
3
∵离心率e∈??,∴≤e≤,
443
?2?
2
1134
即≤2≤、∴≤a2≤4、 4a4343
∴≤b2＋1≤4,即≤b≤3, 33
4b4∵y＝2＝≤2,当且仅当b＝1时取等号.
b＋1b＋1
b又当b＝3时,y＝3;当b＝
3
时,y＝3、∴3≤y≤2、 3
∴点Q的纵坐标的取值范围就是[3,2]. 2.直接法
若题设条件有明显的等量关系,或者可运用平面几何的知识推导出等量关系,则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程,这种“五步法”可称为直接法.
例2 已知直线l1:2x－3y＋2＝0,l2:3x－2y＋3＝0、有一动圆M(圆心与半径都在变动)与l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别就是定值26,24、求圆心M的轨迹方程. 解 如图,设M(x,y),圆半径为r,M到l1,l2的距离分别就是d1,d2,
22222
则d21＋13＝r,d2＋12＝r, 2∴d22－d1＝25,
即?
?3x－2y＋3?2?2x－3y＋2?2
?－??＝25,化简得圆心M的轨迹方程就是(x＋1)2－y2＝65、 13??13??
点评 若动点运动的规律就是一些几何量的等量关系,则常用直接法求解,即将这些关系直接转化成含有动点坐标x,y的方程即可. 3.待定系数法
若已知曲线(轨迹)的形状,求曲线(轨迹)的方程时,可由待定系数法求解.
例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F就是一个焦点,A就是一个顶点,若椭圆的
求曲线方程的常用方法
2
长轴长就是6,且cos∠OFA＝,求椭圆的方程.
32
解 椭圆的长轴长为6,cos∠OFA＝,
3所以点A不就是长轴的顶点,就是短轴的顶点, 所以|OF|＝c,|AF|＝
|OA|2＋|OF|2＝
b2＋c2
c2
＝a＝3,＝,所以c＝2,b2＝32－22＝5,
33x2y2x2y2
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1、
95594.相关点法(或代入法)
如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知,又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系,借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹.
例4 如图所示,从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l:x＋y＝2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
分析 设P(x,y),因为P就是QN的中点,为此需用P点的坐标表示Q点的坐标,然后代入双曲线方程即可.
解 设P点坐标为(x,y),双曲线上点Q的坐标为(x0,y0), ∵点P就是线段QN的中点, ∴N点的坐标为(2x－x0,2y－y0).
又点N在直线x＋y＝2上,∴2x－x0＋2y－y0＝2, 即x0＋y0＝2x＋2y－2、① 2y－2y0
又QN⊥l,∴kQN＝＝1,
2x－2x0即x0－y0＝x－y、②
11
由①②,得x0＝(3x＋y－2),y0＝(x＋3y－2).
22又∵点Q在双曲线上,
11
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1、 44111
x－?2－?y－?2＝、 化简,得??2??2?2
求曲线方程的常用方法
∴线段QN的中点P的轨迹方程为
?x－1?2－?y－1?2＝1、 ?2??2?2
点评 本题中动点P与点Q相关,而Q点的轨迹确定,所以解决这类问题的关键就是找出P、Q两点坐标间的关系,用相关点法求解. 5.参数法
有时求动点满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一个变量的变化而变化,我们可以设这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法.
例5 已知点P在直线x＝2上移动,直线l通过原点且与OP垂直,通过点A(1,0)及点P的直线m与直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程. 解 如图,设OP的斜率为k, 则P(2,2k).当k≠0时, 1
直线l的方程:y＝－x;①
k直线m的方程:y＝2k(x－1).②
联立①②消去k得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1).
当k＝0时,点Q的坐标(0,0)也满足上式,故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1).
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