标准
模型Ⅳ结果分析：i ~ s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为
D???s,i?s?0,i?0,s?i?1?
消去dt可得：
di1??1,ids?s
s?s0?i0
利用积分特性可解得：i??s0?i0??s?1?lns ，在定义域D内,该式表示的曲线即为相s0轨线,如图9所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.
图9 SIR模型的相轨线
根据图9，可分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况如下：
1.不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即：i??0 2.最终未被感染的健康者的比例是s?. 3.若s0?1/?,则i(t)先增加,后减小. 4.若s0?1/?,则i(t)单调减小至0.
5.1.6 模型Ⅳ（SIR模型）的改进模型
由于在H1N1流行的过程中，各个地方（包括香港）都采取了一定的措施，一般是采取了隔离的制度，所以在模型模型Ⅳ（SIR模型）的基础上进行改进。考虑到隔离人数比例g和未隔离人人数比例w，以及接触后没有及时隔离治疗的人数p，从而建立如下改进模型：
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?ds?dt??p??s??dg?p??s(g)???g?gtg????dr 模型Ⅴ ??qi?dt?di?dt???(g??)?qi??d??p??s(?)?????dt??g?由于该模型的分析过程过于复杂，所以该模型在这里将不多做讨论。但从该模型中，
可以看出为预防和控制提供可靠的信息，比如：控制传染源、切断传播途径、保护易感人群、隔离等。
5.1.7 建立模型的关键和困难
建立模型的关键在于对模型进行动态的分析，当传染病发展到一定阶段时，在医疗水平提高、人员流动、出生率和死亡率以及以及采取防御传播措施等方面的影响促使传染率下降。此时仍用之前模型的误差会很大。在建立模型过程中有以下几个方面的困难：①对不同地区H1NI的卫生知识的宣传程度，K值取值不同；②对某一地区的不同地方的强化管理也不一样，K值也就不一样；③防护措施不同、卫生条件不一等，都会影响到K的取值。另外，本文模型大多假设种群总数为常数，且考虑的影响因素较少，但在实际问题中，由于疾病的复杂性往往涉及变动人口、年龄结构、隔离等多种因素的影响，致使模型的建立错综复杂。
5.1.8 对卫生部门采取的措施评价
经上网查询得知医学研究表明，从正式发病到治愈一般需一至两周，假定平均治愈时间为10天。假设新患者出现的数量与现有患者的数量成正比，也与现有易感者的数量成正比，即发病率是患者人数和易感者人数的双线性函数。则有：
?M(t?1)?M(t)?Z(t?1)?t ?Z(t?1)??M(t)Z(t??)?(?)??t?0?对其进行整理可得：
tM(t?1)?(1???Z(t??))?(?) 模型Ⅵ M(t)其中，M(t)为t时刻易感人群总数，Z(t)为t时刻新增病人数，?(?)为病人从患病起经过?时间仍为病人的概率（图中用p表示）。
假设病人开始患病记为第1天，最迟到第10天病愈。那么病人从患病起经过?时间仍为病人呈逐步递减的概率参数，如下图：
文案
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图10 概率—时间图
由图10可看出，如果病人发病后5天才开始隔离的话，病人仍患病的概率相当大（图10阴影区域D），即病人在社会上与易感人群的接触率也相对较大。由模型Ⅴ可得：
tM(t?1)?(1???Z(t??))?(?)?1 M(t)即M(t?1)?M(t)，说明易感人群总数将会以较大的数值递减，给疫情的控制带来更大的困难。所以，如果在病人发病前提前5天隔离的话，新增病人数将变得很小。
5.2 问题二的模型的建立与求解
问题二要我们收集甲流对经济某个方面影响的数据并建立相应的数学模型并进行预测，针对该问题二，我们充分利用附件二，建立甲流对旅游带来的经济影响，而旅游经济与游客数目成正比例关系，故建立预测游客数目模型来预测旅游经济。 5.2.1 香港接待海外旅游人数折线图
根据附件2，利用Excel2003作出2003年至2009年各个月份香港接待海外旅游人数的折线图，如下：
图11 香港接待海外旅游人数折线图
文案
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从图11可看出，2003至2008年各整年的海外游客人数的增长率相对稳定，2009年前三月份海外游客人数稳定，从四月份至六月份是因受到H1N1影响而急促下降，从七月份至九月份海外游客又逐步的上升，十月份至十二月份就是要预测的。 5.2.2 2009年后三个月预测
为了预测2009年后3个月的海外旅游人数，根据图11折线变化，利用2003年至2008年后7至9月份各个月份的平均值与2009做差值，利用其差值进行拟合，利用Mtlab7.1求得2003年至2008年与2009年后三个月的差值为2.4468，-2.2407，0.6516. i (?ai)/6 i?167 8 9 10 11 12 22.4667 27.4667 27.1500 27.9667 24.5500 18.8500 2.61 8.8 16.2 y1 y2 y3 Y（2009年） 627.966724.550018.8500(?ai)/6?Y 19.8567 18.6667 10.9500 -y1-y2-y3i?1即27.9667-y1?2.4468，24.5500-y2??2.2407，18.8500-y3?0.6516.所以2009年后三个月香港接待海外旅游人数分别为：y1?25.5199 ,y2?26.7907 , y3?18.1984（单位：万人）.
5.2.3 灰色预测模型
为了预测2010年香港接待海外旅游总人数，先分别计算出2003至2009年每年的总人数，得出如下表（单位：万人）： 年份 旅客人数 2003 229.2 2004 217.3 2005 250 2006 292.7 2007 297 2008 326.1 2009 196.69 假设设X?0??k???229.2,217.3,250,292.7,297,326.1,196.69?.
5.2.3.1 GM(1,1)模型的建立
为了使其成为有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令
X(1)(t)??X(0)(k)n?1t(t,k?1,2?7)
,446. ,5 696. 5, 989. 2,1286. ,21612. ,3180?9.对从而得到新的生成数列X?1??k???229. 2X?1??k?做紧邻均值生成. 则数据阵B和数据向量Yn为
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?1??2???1?2?1??2 B???1???2?1???2?1???2??x???1??x???2??11?x???2??x???3??11?x???3??x???4??11?x???4??x???5??11?x???5??x???6??11?x???6??x???7??11?1??1??-337.85???-571.501?????-842.85 ??-1137.7 1????-1449.3 ???-1710.7 1????1???x?0??2???217.3?1 ???0????? 1??x?3???250??x?0??4???292.7?1?? ? Yn???0?????x?5???297?1???0???1?x?6??326.1????????0?196.691??????x?7???对参数列??[a,b]T进行最小二乘估计，可得
?BB?T??1 0.0001 -0.0001 -0.0003 -0.0005??0.0005 0.0003B??? 0.6593 0.4876 0.2882 0.0716 -0.1574 -0.3494??T ?????BTB?a??b????1? -0.0124? （其中，a为发展系数，反映x的发展趋势；BTYn???? 250.7669?b为灰色作用量，反映数据间的变化关系. ） 从而可得出GM(1,1)模型：
?dx?1?? 0.0124x?1??250.7669??dt ? 模型Ⅶ
??x?k?1??(x(0)(1)?b)ea?b?20468e?0.0124?20468?aa?bb其中，x?k?1??(x(0)(1)?)ea??20468e?0.0124?20468为时间响应函数形式。
aa5.2.3.2 GM(1,1)模型的残差检验
残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验.
?（1）根据预测公式，计算X X??1???1??k?，得
.2,1286.2,1612.3,1809 ??k???229.2 ,446.5 ,696.5,989??0???0??k?0,1,?6?
（2）累减生成X?k?序列，k?1,2?7 ?k???229.2 ,255.1972 ,258.389,261.6207,264.8928,268.2059,271.5603?
X 原始序列： X?0??k???229.2,217.3,250,292.7,297,326.1,196.69? （3）计算绝对残差和相对残差序列
文案
全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文设计
