高考数学压轴专题最新备战高考《集合与常用逻辑用语》技巧及练习题

【最新】《集合与常用逻辑用语》专题解析

一、选择题

1．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）

①若a,b,c?R，则“a?b”的充要条件是“ac2?bc2”；

②给定两个命题p，q，?p是q的必要不充分条件，则p是?q的充分不必要条件； ③设x,y?R，若x?y?7，则x?3或y?4；

④命题“若m?0，则方程x2?2x?3m?0有实数根”的否命题．（ ） A．0 【答案】C 【解析】 【分析】

当c=0时，ac2?bc2不成立，反过来，若ac2?bc2，则可得a?b，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】

若a?b，当c=0时，ac2?bc2不成立，反过来，若ac2?bc2，则可得a?b，故

B．1

C．2

D．3

ac2?bc2是a?b的充分不必要条件，故①错误；

若?p是q的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，?q是p的必要不充分

条

件，即p是?q的充分不必要条件，故②正确；

若x?y?7，则x?3或y?4的逆否命题为若x?3且x?4，则x?y?7，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；

若m?0，则方程x2?2x?3m?0有实数根的否命题为若m?0，则方程

x2?2x?3m?0无实根，

显然是假命题，因为m?0时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】

本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.

2．下列命题是真命题的是（ ）

A．若平面?，?，?，满足???，???，则?//?；

2B．命题p：?x?R，1?x2?1，则?p：?x0?R，1?x0?1；

C．“命题p?q为真”是“命题p?q为真”的充分不必要条件；

D．命题“若?x?1?e?1?0，则x?0”的逆否命题为：“若x?0，则?x?1?e?1?0”.

xx【答案】D 【解析】

【分析】

根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】

若平面?，?，?，满足???，???，则?,?可能相交，故A错误； 命题“p：?x?R，1?x2?1”的否定为?p：?x0?R，1?x0?1，故B错误；

2p?q为真，说明p,q至少一个为真命题，则不能推出p?q为真；p?q为真，说明p,q都为真命题，则p?q为真，所以“命题p?q为真”是“命题p?q为真”的必要不充分条件，故C错误；

命题“若?x?1?e?1?0，则x?0”的逆否命题为：“若x?0，则?x?1?e?1?0”，故

xxD正确； 故选D 【点睛】

本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.

3．已知命题p:?m?R，m?1?0，命题q:?x?R，x2?mx?1?0恒成立，若p，q至少有一个是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．??2,?1? 【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意可判断命题p为真命题，所以可得命题q必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】

因为p，q中至少有一个为假命题，而命题p:?m?R，m?1?0为真命题； 所以命题q必定为假命题，所以??m2?4?1?0，解得m??2或m?2. 又命题p:?m?R，m?1?0为真命题，所以m??1，于是m??2. 故选：B. 【点睛】

本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

B．???,?2?

C．?2,?1

??D．??1,???

4．下列命题为真命题的个数是（ ） ①?x?xx是无理数}，x2是无理数； ②若a?b?0，则a?0或b?0；

③命题“若x2?y2?0，x?R，y?R，则x?y?0”的逆否命题为真命题；

rr?rrrrex?e?x④函数f?x??是偶函数.

xA．1 【答案】B 【解析】 【分析】

利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于①中，当x?2时，x2?2为有理数，故①错误；

rrrrrrrr对于②中，若a?b?0，可以有a?b，不一定要a?0或b?0，故②错误；

22对于③中，命题“若x?y?0，x?R，y?R，则x?y?0”为真命题，

B．2 C．3 D．4

其逆否命题为真命题，故③正确；

e?x?exex?e?x对于④中，f??x????f?x?，

?xx且函数的定义域是(??,0)U(0,??)，定义域关于原点对称， ex?e?x所以函数f?x??是偶函数，故④正确.

x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.

5．已知下列四个命题

P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??； P2：若f(x)?ex?e?x，则?x?R,f(?x)??f(x)

P3：若f(x)?x?1则?x0?(0,??),f?x0??1 x?1P4：在VABC中，若A?B，则sinA?sinB

其中真命题的个数是（ ） A．1 【答案】B 【解析】 【分析】

根据线面垂直关系判断P1错误；根据函数奇偶性判定P2正确，利用基本不等式性质判断

B．2

C．3

D．4

P3不正确，结合三角形边角关系判定P4正确.

【详解】

解：P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??不一定成立，必须是任意直线；故命题P1错误，

P2：若f(x)?ex?e?x，则f(?x)?e?x?ex??f(x)，即?x?R,f(?x)??f(x)成

立；命题正确，

P3：当x??1时，f(x)?x?当且仅当x?1?111?x?1??1…2(x?1)??1?2?1?1， x?1x?1x?112，即(x?1)?1，得x?0时取等号，则?x0?(0,??),f?x0??1不x?1成立，故命题为假命题，

P4：在VABC中，若A?B，则a?b，由正弦定理得sinA?sinB，即命题为真命题.

则正确的命题的个数是2， 故选：B. 【点睛】

此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.

6．“a?0”是“函数y?ex?a为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 条件 【答案】C 【解析】

|x|解析：若a?0，则y?e是偶函数，“a?0”是“函数y?ex?aB．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要

为偶函数”的充分条件；若

x?a函数y?ex?a为偶函数，则对称轴为x?0，即x?a?0，则“a?0”是“函数y?e为

偶函数”的必要条件，应选答案C．

7．已知集合A?|x|y?lg4?xA．?x|1?x?2?

??2??，B??x|y??x2?4x?3，则AIB?( )

?B．?x|1?x?2? D．?x|?2?x?3?

x3? C．?x|1剟【答案】B 【解析】 【分析】

根据对数函数和二次函数的性质，求得集合A,B，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】

由题意，集合A?x|y?lg4?x所以AIB?{x|1?x?2}. 故选：B． 【点睛】

??2???(?2,2),B?{x|y??x2?4x?3}?[1,3]，

本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合A,B是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．

8．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）

2①命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”；

②若正整数m和n满足m?n，则m?n?m??n； 2③在?ABC中 ，A?B是sinA?sinB的充要条件；

④一条光线经过点P?1,3?，射在直线l:x?y?1?0上，反射后穿过点Q?1,1?，则入射光线所在直线的方程为5x?3y?4?0；

⑤已知f(x)?x3?mx2?nx?k的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m?n?k为定值. A．2 【答案】C 【解析】 【分析】

①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】

2①，命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”，故①

B．3 C．4 D．5

错误.

②，由于正整数m和n满足m?n，n?m?0，由基本不等式得

m?n?m??m?n?mn?，当m?n?m即n?2m时等号成立，故②正确. 22③，在?ABC中，由正弦定理得A?B?a?b?sinA?sinB，即

A?B?sinA?sinB，所以A?B是sinA?sinB的充要条件，故③正确.

④，设Q?1,1?关于直线x?y?1?0的对称点为A?a,b?，则线段AQ中点为

?a?1b?1?2?2?1?0???a?1b?1?b?1,，解得a?b??2，所以A??2,?2?.所以入射光?1??，则?2??2?kAQ?2?1a?1??1?2?