中考数学重难点专题讲座
第三讲 动态几何问题
【前言】
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，
第一部分 真题精讲
【例1】（2010，密云，一模）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．
ADN
BMC（1）当MN∥AB时，求t的值；
（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于N是在动，大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以
当
题
A中
DN设定
MNMNtDDE∥ABBCEABEDBEMCAB∥DEAB∥MNDE∥MNMCNC10?2tt50DF433t??t??cos?C?10?2t?2?MN?NCNF?BCBCFMC?2FCsin?C?ECCD10?3517CD555ADNt?258BMFCA360t?MN?MCMMH?CDCN?F2CHt?2?10?2t??517BGD
ECADNHMC?CN10?2t?tt?C10256010t?△MNC42BC?3xx38173BM?（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x， 易证△AQD∽△DCP，∴x2?CP???x．
4CPCDCPx? ， ∴?， DQAQ4?x4②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作AG?AC交CB延长线于点G， 则?AGD??ACF．? CF⊥BD，
?△AQD∽△DCP，∴
x2?CP??x．
4CPCDCPx? ， ∴?， DQAQ4?x4【例3】（2010，怀柔，一模）
已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC?x，MQ?y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．
A
M D
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】
（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? ∵M是AD中点 ∴AM?MD ∵AD∥BC
∴∠AMB?∠MBC?60?，∠DMC?∠MCB?60?
∴△AMB≌△DMC ∴AB?DC
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）解：在等边△MBC中，MB?MC?BC?4，∠MBC?∠MCB?60?，∠MPQ?60?
∴∠BMP?∠BPM?∠BPM?∠QPC?120? (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) ∴∠BMP?∠QPC ∴△BMP∽△CQP ∴
PCCQ? BMBP∵PC?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y ∴
x4?y12 ∴y?x?x?4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) ?44?x4【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X
取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： △PQC为直角三角形 ∵y?12?x?2??3 4∴当y取最小值时，x?PC?2
∴P是BC的中点，MP?BC，而∠MPQ?60?， ∴∠CPQ?30?，∴∠PQC?90?
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢接下来我们看另外两道题. 【例4】2010，门头沟，一模
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
CG，． （2）将图1中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG，你在（1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中?BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立（不要求证明）
ADGEB图1CEFB图3CAGEFDAD
CFB图2 【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。
（1）CG?EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即CG?EG．
证明：连接AG，过G点作MN?AD于M，与EF的延长线交于N点． 在?DAG与?DCG中，
?ADG??CDG，DG?DG， ∵AD?CD，∴?DAG≌?DCG． ∴AG?CG． 在?DMG与?FNG中，
FG?DG，?MDG??NFG， ∵?DGM??FGN，∴?DMG≌?FNG． ∴MG?NG
在矩形AENM中，AM?EN 在Rt?AMG与Rt?ENG中， MG?NG， ∵AM?EN，∴?AMG≌?ENG． ∴AG?EG． ∴EG?CG
AMGEFDNC
B图2 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．
中考数学重难点专题讲座动态几何含答案
