第九讲数形结合思想
【中考热点分析】
数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。 【经典考题讲练】
例1.（2015衢州）如图，已知直线y??3x?3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线41y??x2?2x?5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线
23y??x?3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ．
4
例2.（2014?广州）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标． （2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．
（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由． 解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可． 答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: 抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图,当时,设, 则
过作直线轴,
(注意用整体代入法) 解得 ,
当在之间时， 或时，为钝角. (3)依题意，且
设移动（向右，向左） 连接 则
又的长度不变
四边形周长最小，只需最小即可 将沿轴向右平移5各单位到处 沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时 ，设过的直线为，代入 ∴ 即
将代入，得：，解得：
∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
例3.（2012杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，，．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF＝5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
解：(1)∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE，
∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，
而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分) 图(1)
(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，
∴EC＝AE·tan30°＝3.
如图(1)，连接OM，
在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，
∴OB＝＝.
在Rt△COB中，∠COB＝30°，
∴OC＝.
∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R
整理得R＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，
2
∴R＝－23(不符合题意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)
(3)在EF的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图(2)(3)(4)，每个图有2个满足题意的三角形．
能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形，如图(1)，延长EO交⊙O于D，连接DF，则△DFE为符合条件 的三角形．
图(2) 图(3) 图(4)
由题意得，△DFE∽△OBC.
由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分)
【解答策略提炼】
解题策略，数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面，即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判教，用形解决数的问题，常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题；二十就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组）、面积转换等求解几何问题。
【专项达标训练】
一、填空题 1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8，动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止，在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有（ ）个。 2.已知抛物线y=ax-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,x=3,y=1围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 。 3.如图，抛物线y=212x+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0），点M2（m,0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是 24/41 。 4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若△ABC是直角三角形，则ac= . 5.如图，半径为r1的圆内切于半径为r2的圆，切点为P，过圆心O1的直线与⊙O2交于A、B，与⊙O1交于C、D，已知AC：CD：DB=3：4：2，则r1= ． r2 二、解答题 6.（1）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数。
中考数学——数形结合专题
