数学竞赛专项训练（10）参考答案
一、选择题 1、解：S?BGD?111S?ABD??S?ABC?1(cm2)。选C。 3322、解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则∠ABC＝60°，因为EB是∠B的外角的平分线，
所以∠ABE＝60°，因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点，所以E点到CB的距离等于E到AB的距离，也等于E点到CA的距离，从而AE是∠A的外角的平分线。 所以?BAE?150??75?，∠AEB＝180°－60°－75°＝45°。应选B。 23、解：依题意在等腰三角形B′CB中，有∠B′CB＝α，∠B′＝90°－20°＝70°。
所以α＝180°－2×70°＝40°，即∠DCA＝α＝40°， 从而∠BDC＝∠DCA＋∠A＝40°＋
20°＝60°。应选D。 4、解：设AD为中线，则DG＝
12AG＝3，延长GD到G′，DG＝DG′＝3，
S?GBC?S?CGG??1?8?6?24 S?ABC?3S?GBC?72。应选C。 25、解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC
＝8－6＝2，所以S△CEF＝2。故选A。
6、解：取△ABC的外心及BC中点M，连OB、OC、OM，由于∠A＝45°，故∠BOC＝90°，OM＝
12a，由于AH＝2OM，AH＝a。应选C。
7、解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以I点同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，
设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°。同理，∠IBA＝30°，于是∠ABC＝60°。故选C。
8、图中有6个直角，每一个直角对应两个直角三角形，共有12个直角三角形：△ADB、△ADC、△
BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、 △BEC、△HFB。故选D。
二、填空题
?BIC??BID??DIC?(1、解：
ABACA?)?(?)?90??2222240? ?90???110?2
2、解：连AC，即AD＝a，则在等腰Rt△ABC中
AC2?AB2?BC2?8a2?(3a)2?a2?CD2?AD2
有∠CAD＝90° ∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝90°+45°＝135°。
数学竞赛专项训练参考答案（10）－36
3、解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S，则：
S?S?ABC?S?AD1C?S?AEC?S矩形ABCD?S?AEC
S?AEC15?AB?EC?EC22
由Rt△ABE≌Rt△CD1E 知EC＝AE 设EC＝x，则 解得：xAB2?BE2?x2，即52?(12?x)2?x2
16951698458452035 S?AEC??? S?5?12?? 24224484848154、解：答：15。
5911 设OA边上的高为h，则h≤OB，所以S?OAB?OA?h?OA?OB
22? 当OA⊥OB时，等号成立，此时△OAB的面积最大。
设经过t秒时，OA与OB第一次垂直，又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是
（6－0.1）t＝90，解得t=1515。 59∴△BCD、△DAB均为等腰三角形。
5、解：设等腰三角形底边为a，腰为b，作底角∠B的平分线交AC于D，则
?B?1(180??36?)?70? 2 BD＝AD＝BC＝a，而CD＝b－a 由△BCD∽△ABC ∴
BCCDab?a? 即? ABBCba 则有(a2aa5?1)?()?1?0 解得?（取正） bbb2A G 又梯形BCKG中，PM＝
6、解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，
BEBGCECK? ? AEAPAFAPBECFBG?CK??两式相加
AEAFAP则有
E B 12D M
F K C （BG+CK），而由P为重心得AP＝2PM 故
三、解答题
1、证明：∵正方形ABCD ∴OA⊥DE
数学竞赛专项训练参考答案（10）－37
BECF2PM???1 AEAF2PM
∵DF⊥AE ∴F是△DAE的垂心 ∴EF⊥AD ∴EF∥AB ∵OA＝OB ∴OE＝OF
2、证明：①如图，据题设可知DM平行且等于BN，DN平行且等于AM， ∴∠AMD＝∠BND
∵M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点
∴EM＝AM＝DN FN＝BN＝DM 又已知DE＝DF ∴△DEM≌△DFN
②由上述全等三角形可知∠EMD＝∠FND ∴∠AME＝∠BNF 而△AME、△BNF均为等腰三角形 ∴∠PAE＝∠PBF。
3、证明：连结MC ∵AB＝BC，AD⊥BC ∴∠1＝∠2＝∠3 ∵∠4＝∠5＝∠6 又∵∠7＝∠8 ∴M是△AEC的内心 ∴EM是∠AEN的平分线 ∴ 又∵∠EBN＝2∠NBD＝2∠1 ∠ENB＝∠NBD＋∠4＝2∠1 ∴EB＝EN ∴
4、证明：①如图： 因为M是BC的中点，P是BC的中点，所以MP⊥BC，∠BPM＝90°，连结
AB，则有∠PBM＝
⌒A 7 8 AEAM?ENMN
M E B
3 2 1 N 5 6 4 AEAM?EBMN ∴EN∥BN
D C 12∠CAB＝
11（180°－∠DAB）＝90°－22∠DAB＝90°－∠NBD＝∠QNB。
所以Rt△BPM∽Rt△NQB。于是有
BPNQ? MPBQ ②因为KP∥BD，且KP＝
＝KP
1BD＝BQ，所以，四边形PBQK是平行四边形。于是，有BP＝KQ BQ2KQNQ?由式①得。又∠KPM＝∠KPB＋90°＝∠KQB＋90°＝∠NQK，所以△KPMMPKP∽△NQK。
数学竞赛专项训练参考答案（10）－38
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