综上所求，故有8种不同放法。
5、解：先把第999个（中间）“－”改为“＋”，然后，对乙的每次改动，甲做与之中心对称的改动，视数字为点，对应在数轴上，这1997个点正好关于点（999）对称。
6、解：由题意说假话的至少有1人，但不多于1人，所以说假话的1人，说真话的99人。
三、1、解：1+2+3+??9＝45，故正方形的边长最多为11，而组成的正方形的边长至少有两条线段的和，故边长最小为7。 7＝1+6＝2+5＝3+4 8＝1+7＝2+6＝3+5 9+1＝8+2＝7+3＝6+4 9+2＝8+3＝7+4＝6+5 9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5
故边长为7、8、10、11的正方形各一个，共4个。而边长为9的边可有5种可能能组成5种不同的正方形。所以有9种不同的方法组成正方形。
2、证明：利用抽屉原理，按植树的多少，从50至100株可以构造51年抽屉，则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。（用反证法）假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：
4（50＋51＋52＋??＋100）＝4×人植树的株数相同。 3、解：王华获胜。
王华先取2个弹子，将2000（是4的倍数）个弹子留给张伟取，不记张伟取多少个弹子，设为x个，王华总跟着取（4－x）个，这样总保证将4的倍数个弹子留给张伟取，如此下去，最后一次是将4个弹子留给张伟取，张伟取后，王华一次取完余下的弹子。
4、解析在研究与某些元素间关系相关的存在问题时，常常利用染色造抽屉解题。17位科学家看作17个点，每两位科学家互相通信看作是两点的连线段，关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段，如用红色表示关于问题甲的通信，蓝色表示问题乙通信，黄色表示问题丙通信。这样等价于：有17个点，任三点不共线，每两点连成一条线段，把每条线段染成红色、蓝色和黄色，且每条线段只染一种颜色，证明一定存在一个三角形三边同色的三角形。
证明：从17个点中的一点，比如点A处作引16条线段，共三种颜色，由抽屉原理至少有6条线段同色，设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色。
若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线，设这两点为B、C，则△ABC是一个三边同为红色的三角形。
若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色，则考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种，必有3条线段同色，设为BC、BD、BE均为黄色，再研究△CDE的三边的颜色，要么同为蓝色，则△CDE是一个三边同色的三角形，要么至少有一边为黄色，设这边为CD，则△CDE是一个三边同为黄色的三角形。
数学竞赛专项训练（9）－16
(50?100)?51＝15300＜15301，得出矛盾。因此，至少有5
2
初中数学竞赛专项训练（8） （命题及三角形边角不等关系）
一、选择题：
1、如图8-1，已知AB＝10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是 A. 4
B. 5
C. 6
（ ） D.
5(5?1)
2、如图8-2，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7， 则BC＋CD等于 A.
B. 5
（ ）
63 3
C. 4
3
D. 3
3
3、如图8-3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为 A.
数最多为 A. 1
（ ） C.
45 7B.
C 33 5D
P 图8-1
B. 2
D C
60° 39 5D.
A E B 15 2D A B
A B
F C 图8-3
图8-2
C. 3
4、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，锐角的个
（ ） D. 0 （ ）
5、如图8-4，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 A. 4cm C. 4cm
10cm 23cm
B. 5cm D. 5cm
10cm 23cm
A B D C A B E F CD C 图8-4
（ ）
6、一个三角形的三边长分别为a，a，b，另一个三角形的三边长分别为a，b，b，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则
a的值等于 b5?1 2 A.
3?1 2B. C.
3?2 2D.
5?2 2（ ）
7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是
数学竞赛专项训练（9）－17
A. 0 8、若函数面积为 A. 1 二、填空题
1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与是＿＿＿＿＿＿＿
B. 1
C. 3
D. 5
y?kx(k?0)与函数y? B. 2
1x的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的
C. k
D. k2
（ ）
a?b的大小关系2C B′ D 2、如图8-5，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿＿＿
3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数
A · E A′
B 图8-5
组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）??问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿
4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿＿＿＿
5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。
6、如图8-8，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝＿＿
16 米 甲 A B P 图8-6
D C A C 20米 乙 D B 图8-7
A B
P 图8-8
C
数学竞赛专项训练（9）－18
三、解答题
1、如图8-9，AD是△ABC中BC边上的中线， 求证：AD＜
2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？
3、如图8-10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F。 求证：①四边形CEDF是正方形。
②CD2＝2AE·BF
4、从1、2、3、4??、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
数学竞赛专项训练（8）参考答案
一、选择题
1、如图过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G。
A 12（AB+AC）
B
D 图8-9 C E C F B
A
D 图8-10
C G A E D C 60°
1 显然DG＝EF＝
2D P F B AB＝5，CD≥DG，当P为AB中点时，有CD＝DG＝
5，所以CD长度的最小值是5。
2、如图延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE＝16，DE＝8于是BE＝AE－AB＝9，在Rt△BEC中，可求得BC＝3于是CD＝DE－CE＝2
3，
3，CE＝63，A B E
3
BC＋CD＝5
3。
D G H
F C 3、由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF ∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝
A 1(AD?AB?BC?CD)?11 2E AEDFB ?∵EF∥BC，∴EF∥AD， EBFCAEDFk6kk4k??k，AE?AB?，DF?CD?设 EBFCk?1k?1k?1k?1数学竞赛专项训练（9）－19
AD+AE+FD＝3+
6k4k13k?3?? k?1k?1k?1∴
13k?3?11
k?1 解得k＝4
作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，
则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC－CH＝9-3＝6 ∵
EGAE4424??，∴EG?BH? BHAB555∴EF?EG?GF?2439?3? 554、假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，也就是A+B＜90°，B+C＜
90°，C+A＜90°。∵2（A+B+C）＜270°，A＋B＋C＜135°与A＋B＋C＝180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角，假设α、β、γ中有两个锐角，不妨设α、β是锐角，那么有A＋B＜90°，C＋A＜90°，∴A＋(A＋B＋C)<180°，即A+180°＜180°，A＜0°这也不可能，所以α、β、γ中至多只有一个锐角，如A＝20°，B＝30°，C＝130°，α＝50°，选A。 5、折叠后，DE＝BE，设DE＝x，则AE＝9－x，在Rt△ABC中，AB2＋AE2＝BE2，即3解得x＝5，连结BD交EF于O，则EO＝FO，BO＝DO ∵BD?2?(9?x)2?x2，
92?32?310
∴DO＝
310 2 在Rt△DOE中，EO＝
DE2?DO2?52?(310 10)2?22∴EF＝
10。选B。
6、设△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，如图D是AB上一点，有AD＝b，因a>b，故∠A是△ABC
的最小角，设∠A＝Q，则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它与△ABC全等，所以DC＝b，∠ACD＝Q，因有公共底角∠B，所以有等腰
A Q D B
C
BCBD?△ADC∽等腰△CBD，从而得
ABBC即得方程x2ba?ba，即?，令x?abb，
?x?1?0，解得x?a5?1?。选B。 b27、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角
与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。
8、A。设点A的坐标为（x，y），则xy?1，故△ABO的面积为
11xy?，又因为△ABO与△22CBO同底等高，因此△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝1。 二、填空题
1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N，
MN＝d，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，连结BD，设P是BD的中点，连结MP、PN，则MP＝
D A P M B
N C
ab，NP＝22，显然
数学竞赛专项训练（9）－20
初中数学竞赛试题精选
