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第6章 刚体的平面运动分析
6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0= 0，转角?0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。
解：xA?(R?r)cos? （1） yA?(R?r)sin? （2） ?为常数，当t = 0时，?0=?0= 0 ??12?t 2（3）
起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP??，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过
?A????
因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即 R??r? ??RR?r?， ?A?? rr??
习题6-1图
（4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：
?2??xA?(R?r)cos2t??2 ??yA?(R?r)sint
2??1R?r2??A?2r?t?
6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。
解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为
B C h B C h A vo P ?ABv0v0cos?v0cos2????APACh
? ? vC ?AB A v0
习题6－2图 习题6－2解图
6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度?A与?B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。
解：?A?
vAv? RRvv?B?B?
2R2R?A?2?B
vB = v ?B ?A
习题6-3图
习题6-3解图
vA = v
6－4 直径为603mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设
杆BC在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。
页脚
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解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D vB???BD?BCv??BD ?B?BPBPO P B C vB O ? ?BC B C ? ? ? 12?603cos30? ?270sin30??8rad/s
? D vC ? vC??BC?PC
?8?0.27cos30??1.87m/s
习题6-4图
习题6-4解图
6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
D A A B C ?O O1 B C O 习题6-5图
? O1 解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。
图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。
vD vB B vA A D vA A vB O1 B 习题6-5解图
vC C ?O vC C O ? O1 (a) (b) P
6－6 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =
1AB，曲柄OA的角速度?= 3rad/s。试求当示。?= 90°2?AA而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。
解：杆AB的瞬心在O
?ABv?A???3rad/s OAvB?3??5.2rad/s l
习题6-6图
?ABlO?2l?BB vB?3l? ?O1B?
页脚
??O1?O1B
习题6-6解图
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6－7 绕线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？
解：如图
vA0.8??1.333rad/s
0.9?0.30.68 vO?0.9?O?0.9??1.2m/s
6 ?O?卷轴向右滚动。
习题6-7图
6－8 图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。
解：如图，以O为基点： v1?vO??Or
A O v1 A v1 vO v2?vO??Or
解得：
?O O v1?v2 2v?v?O?12
2rvO?B v2B v2 习题6－8图 习题6－8解图
6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度?= 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 20037mm。
习题6－9图
解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1．当?= 90°，270°时，OA处于铅垂位置，图（a）表示?= 90°情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心 vDE = 0
同理，?= 270°时，vDE = 0
2．?= 180°，0°时，杆AB的瞬心在B ?= 0°时，图（b），vC?vA（↑） 此时CD杆瞬时平移 vDE
1?vD?vC?vA?4m/s（↑）
2vAA?OC90vCvBDBE
(a)
vA?OvCACvD?vDEBD12E
(b)
习题6－9解图
同理?= 180°时，vDE = 4m/s（↓）
6－10 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及页脚
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轮和杆的角速度。
解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P ?O?vO20??40rad/s r0.5B OA vO A B vB ??OvO A vA A C ?O vA??O2r?202m/s
?AB?vA202sin45??AP1.5cos??102=14.1 rad/s
?AB 习题6－10图
vBcos??vAcos(45???)
vB?202(cos45??sin45?tan?)?12.9m/s
P 习题6－10解图
6－11 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。
解：轮B瞬心在F点 vE = vC ?B?vE?360?2?1011 vD?vB?vE?vC?0.06m/s
22
?0.12?1rad/s 0.12F
习题6－11图
6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CA⊥DE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 2003mm。试求当?= 90°时（这时OA与CA成60°角）F、G两点的速度的大小和方向。
?FF?e ?A?D?e A??60C?r O
?G?E GE
习题6－12图
习题6－12解图
解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。
πn1.4π10.7?m/s ve?vA?πm/s 30323v0.7π7π7π? ?e?e?rad/s vE?vD?0.254?e?m/s
CA3?0.41248D vA?OA???0.2? vG?vEcos30??
7π3??0.397m/s（→） vF?vG?0.397m/s（←） 482页脚
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6－13 平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm，半径r = 5 cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，OA水平，其角速度 = 2 rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：
（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB的角加速度。
解：
（1） 圆轮的角速度和角加速度
vA?OA???40cm/s
杆AB瞬时平移，
AB = 0
B vB O A vA C aA ta BAB C vB?vA?40cm/s
v?B?B?8rad/s
rnaB?aBA?0
a?B?B?0
r（2）杆AB的角加速度。
?(a) O 习题6－13解图
aA ?(b)
A
tt?aA?OA??2?80cm/s2 aA?aBA?0，aBA?ABtaBA??4rad/s2 AB
6－14 图示机构由直角形曲杆ABC，等腰直角三角形板CEF，直杆DE等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE杆绕D轴匀速转动，角速度为?0，求图示瞬时（AB水平，DE铅垂）点A的速度和三角板CEF的角加速度。
解：
（1）求点A的速度
O vE?DE??0?a?0三角板CEF的速度瞬心在点F
vC
vE
n aFanE aFE t aFt aFEaE
vA
vC?vE?a?0
曲杆点O
ABC的速度瞬心在
(a)
(b)
习题6—14解图
vA?vC?OA?2a?0 OCtntnaF?aF?aE?aFE?aFE
（2）求三角板CEF的角加速度
将上式沿水平方向投影
ntaF?aFE?0（因为vF = 0）
?CEF
taFE??0 FE 6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C以铰链与CD相连接，DE杆可以绕E点转动。如曲柄的角速度
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理论力学课后习题答案第6章刚体的平面运动分析报告
