第一章 1.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1
1．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( A )
2A．at0 1
C．at0
2
B．－at0 D．2at0
Δss?t0＋Δt?－s?t0?1
[解析] ∵＝＝aΔt＋at0，
ΔtΔt2∴Δtlim →0
Δs
＝at0. Δt
f?Δx?
＝－1，则f ′(0)＝( B ) Δx
2．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足Δxlim →0A．－2 C．1
[解析] ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
B．－1 D．2
f?0＋Δx?－f?0?f?Δx?∴f ′(0)＝Δxlim ＝lim ＝－1， →0Δx→0ΔxΔx∴选B．
21
3．已知f(x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于( D )
x2A．－4 C．－2
[解析] f ′(x)＝Δxlim →0
B．2 D．±2
f?x＋Δx?－f?x?221
＝－2，于是有－2＝－，m2＝4，解得m＝±2.
Δxxm2
f?Δx－1?＋f?1?
等于( A )
Δx
4．已知奇函数f(x)满足f ′(－1)＝1，则Δxlim →0A．1 C．2
B．－1 D．－2
[解析] 由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)， f?Δx－1?＋f?1?f?－1＋Δx?－f?－1?所以Δxlim ＝Δxlim →0→0ΔxΔx
＝f ′(－1)＝1. 二、填空题
5．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为20＋5Δt，落体在t＝2时的瞬时速度为20.
5?2＋Δt?2－5×22
[解析] 由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为v＝
Δt＝20＋5Δt，则当Δt→0时v→20，即t＝2时的瞬时速度为20.
6．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f ′(－1)＝3，则a＝1.
[解析] Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.
32
Δya?Δx?－3a?Δx?＋3aΔx∴＝＝a(Δx)2－3aΔx＋3a. ΔxΔx
当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a. ∴f ′(－1)＝3a＝3，∴a＝1. 三、解答题
7．设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系． [解析] 设f(－x)＝g(x)，则f(－x)在a处的导数为g′(a)，于是 g?x?－g?a?g′(a)＝lim x→a
x－a＝lim x→a
f?－x?－f?－a?
x－a
f?x?－f?－a?
，令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
x＋a
而f′(－a)＝xlim →－a
f?－t?－f?－a?∴f′(－a)＝lim t→a
－t＋af?－t?－f?－a?
＝－lim t→a
t－a＝－g′(a)，
这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数．
B级 素养提升
一、选择题
1．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( C ) A．4＋4t0 C．8t0＋4
B．0
2
D．4t0＋4t0
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt， Δs
＝4Δt＋4＋8t0， Δtlim Δt→0
Δs
＝lim (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0. ΔtΔt→0
f?x0＋2Δx?－f?x0?
＝( D )
Δx
2．(2019·思明区校级月考)若f ′(x0)＝4，则Δxlim →0A．2 1C．
8
f?x0＋2Δx?－f?x0?
[解析] Δxlim →0Δx
f?x0＋2Δx?－f?x0?＝2lim ＝2f ′(x0)＝8， Δx→02Δx故选D． 二、填空题
3．已知y＝x＋4，则y′|x＝1＝[解析] 由题意知Δy＝＝
5＋Δx－5，
5＋Δx－5
. Δx
5＋Δx－5
Δx
5. 101＋4 B．4 D．8
1＋Δx＋4－
Δy∴＝Δx
∴y′|x＝1＝Δxlim →0＝Δxlim →0＝5
. 10
Δx
Δx?
5＋Δx＋5?
4．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是相等.
高二教材梳理使用资料1.1.2
