《2020年中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》（三）
几何新定义专题
1.（2019?咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，⊙ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD． 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分⊙BCD？请说明理由． 运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角⊙EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
解：（1）证明：⊙四边形ABCD为圆内接四边形， ⊙⊙A+⊙C＝180°，⊙ABC+⊙ADC＝180°， ⊙BD平分⊙ABC， ⊙⊙ABD＝⊙CBD，
1
⊙，
⊙AD＝CD，
⊙四边形ABCD是等补四边形； （2）AD平分⊙BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊙BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F， 则⊙AEB＝⊙AFD＝90°， ⊙四边形ABCD是等补四边形， ⊙⊙B+⊙ADC＝180°， 又⊙ADC+⊙ADF＝180°， ⊙⊙B＝⊙ADF， ⊙AB＝AD，
⊙⊙ABE⊙⊙ADF（AAS）， ⊙AE＝AF，
⊙AC是⊙BCF的平分线，即AC平分⊙BCD； （3）如图3，连接AC， ⊙四边形ABCD是等补四边形， ⊙⊙BAD+⊙BCD＝180°， 又⊙BAD+⊙EAD＝180°， ⊙⊙EAD＝⊙BCD， ⊙AF平分⊙EAD，
2
⊙⊙FAD＝⊙EAD，
由（2）知，AC平分⊙BCD， ⊙⊙FCA＝⊙BCD，
⊙⊙FCA＝⊙FAD， 又⊙AFC＝⊙DFA， ⊙⊙ACF⊙⊙DAF， ⊙
，
即，
⊙DF＝5﹣5．
2.（2019?达州）箭头四角形，模型规律，如图1，延长CO交AB于点D，则⊙BOC＝⊙1+⊙B＝⊙A+⊙C+⊙B． 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“⊙BOC＝⊙A+⊙B+⊙C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用
（1）直接应用：⊙如图2，⊙A+⊙B+⊙C+⊙D+⊙E+⊙F＝ 2α ．
⊙如图3，⊙ABE、⊙ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知⊙BEC＝120°，⊙BAC＝50°，
3
则⊙BFC＝ 85° ．
⊙如图4，BOi、COi分别为⊙ABO、⊙ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知⊙BOC＝m°，⊙BAC＝n°，则⊙BO1000C＝ （
n） 度．
m+
（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，⊙BCD＝2⊙BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．
解：（1）⊙如图2，
在凹四边形ABOC中，⊙A+⊙B+⊙C＝⊙BOC＝α， 在凹四边形DOEF中，⊙D+⊙E+⊙F＝⊙DOE＝α， ⊙⊙A+⊙B+⊙C+⊙D+⊙E+⊙F＝2α； ⊙如图3，
4
⊙⊙BEC＝⊙EBF+⊙ECF+⊙F，⊙F＝⊙ABF+⊙ACF+⊙A，且⊙EBF＝⊙ABF，⊙ECF＝⊙ACF， ⊙⊙BEC＝⊙F﹣⊙A+⊙F， ⊙⊙F＝
，
⊙⊙BEC＝120°，⊙BAC＝50°， ⊙⊙F＝85°； ⊙如图3，
由题意知⊙ABO1000＝
⊙ABO，⊙OBO1000＝
⊙ABO，
⊙ACO1000＝⊙ACO，⊙OCO1000＝⊙ACO，
⊙⊙BOC＝⊙OBO1000+⊙OCO1000+⊙BO1000C＝（⊙ABO+⊙ACO）+⊙BO1000C，
⊙BO1000C＝⊙ABO1000+⊙ACO1000+⊙BAC＝（⊙ABO+⊙ACO）+⊙BAC，
则⊙ABO+⊙ACO＝（⊙BO1000C﹣⊙BAC），
代入⊙BOC＝（⊙ABO+⊙ACO）+⊙BO1000C得⊙BOC＝×（⊙BO1000C﹣⊙BAC）+⊙BO1000C，
5
《2020年中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》(三)：几何新定义专题(解析版)
