带电粒子在分离电、磁场中的运动探讨
龚知栋
（ 湖北省麻城市第二中学 438307 ）
当带电粒子连续通过彼此分离的有界电场、磁场时，时而做匀变速直线运动，时而做类平抛运动，时而做匀速圆周运动，时而正偏，时而反偏。此类题目综合性强，特别是其运动过程繁多，往往容易造成思维过程复杂、混乱，一般初次读题，不可能马上从整体上把握题目的全过程，只有分过程逐步分析，先弄清每个过程的情况，而后综合整理方能求解。这就要求考生具有良好的心理素质和严密的思维，一般来说，考生做起来容易上手，但稍有不慎又会出错；能得分，但想得满分又有难度。因而这类试题的区分度清晰，对考生具有很强的甄别功能，一直以来备受高考出题专家的青睐。下面仅举几例讨论，以供参考。
一、匀加速直线运动与匀速圆周运动结合
例1（2011重庆卷第25题）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图1所示，材料表面上方矩形区域PP′N′N充满竖直向下的匀强电场，宽为d；矩形区域NN′M′M充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为3s，宽为
s；NN′为磁场与电场之间的薄隔离层。一个电荷量为e、
质量为m、初速为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M′N′飞出．不计电子所受重力。
(1)求电子第二次与第一次圆周运动半径之比； (2)求电场强度的取值范围；
(3)A是M′N′的中点，若要使电子在A、M′间垂直于AM′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间。
【解析】 (1)设圆周运动的半径分别为R1、R2、…Rn、Rn＋1…，第一次和第二次圆周运动速率分别为v1和v2，动能分别为Ek1和Ek2 ，由于相邻两次圆周运动中间有两次经过隔离层，有：Ek2＝(0.9)Ek1
2
又由：R1＝
mv1mv21212
，R2＝，Ek1＝mv1，Ek2＝mv2 BeBe22
得：R2∶R1＝0.9
(2)设电场强度为E，第一次到达隔离层前的速率为v′. 11122 2
由:eEd＝mv′，0.9×mv′＝mv1 ， R1≤s2225Bes得：E≤
9md又由Rn＝0.9
n－12
2
R1 ，2R1(1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n＋…)>3s
B2es2
得：E>
80md22
B2es25Bes综合可得： 80md9md(3)设电子在磁场中做圆周运动的周期为T，运动的半圆周个数为n，运动总时间为t. 2R11?0.9ns?Rn?1?3s，R1≤s，Rn＋1＝0.9nR1，Rn＋1≥ 由题意，有： 21?0.9得：n＝2 2πm5πm 又由T＝ ，解得：t＝ eB2eB 【点评】本题运动过程较复杂——粒子在电场中做匀加速直线运动，进入磁场后向右偏转经历一个半圆周又回到电场，先减速至零，后又匀加速再次进入磁场……如此重复，但每次重新进入磁场时速度减小，圆周半径减小；解本题的另一个关键是分析临界问题，要根据磁场的水平边界和竖直边界的长度找出与轨道半径的关系。 二、类平抛运动与匀速圆周运动结合 例2（2011全国卷1第25题） 如图2所示，与水平面成45°角的平面MN将空间分成I和II两个区域。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从平面MN上的p0点水平右射入I区。粒子在I区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在II区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II区离开时到出发点 ??p0的距离。粒子的重力可以忽略。 【解析】如图3设粒子第一次过MN时速度方向与水平方向成α1角，位移与水平方向成α2角且α2=45，在电场中受电场力做类平抛运动， 0 则有： 得出： 粒子在电场中做类平抛运动的位移: 在磁场中做圆周运动，由得出： 且弦切角为α=α1-α2， 则在磁场中运动的位移为： 所以首次从II区离开时到出发点的距离为： 【点评】本题的运动过程不是很复杂，粒子先在匀强电场中做类平抛运动，后进入匀强磁场做一段圆周运动，此后离开磁场又进入电场。解本题的关键是作图时要准确画出类平抛运动的速度夹角和位移夹角，并以此求出圆周运动的弦切角（运用三角函数的知识），剩下的问题就不难了。 三、匀加速直线运动、类平抛运动和匀速圆周运动结合 例3（2010广州市高三期末调研）如图4所示，在xoy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着方向沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电量为q、质量为m的离子经过电压为U的电场加 速后，从x上的A点垂直x轴进入磁场区域，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直y轴进入电场区域，在电场偏转并击中x轴上的C点。已知OA=OC=d.求电场强度E和磁感强度B的大小。 【解析】设带电粒子经电场加速后速度为v，由动能定理有qU?12mv 2， mv2带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由牛顿运动定律有qBv?， r依题意可知：r =d 联立以上各式可解得：B?2qUm； qd带电粒子在第Ⅱ象限的电场中偏转，做类平抛运动，设经时间t从P点到达C点，由平抛运动知识有d?vt 和 d?1qE2t 2m， 联立各式可解得：E?4U d【点评】本题的运动过程较为简单——粒子先在电场中做匀加速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，经四分之一圆周后又垂直进入另一电场做类平抛运动，解题过程亦不复杂。 四、多种常见运动结合 例4（2011四川卷第25题） 如图5所示，正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长l＝1.8 m，距地面h＝0.8 m．平行板电容器的极板CD间距d＝0.1 m且垂直放置于台面，C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔．电容器外的台面区域内有磁感应强度B＝1 T、方向竖直向上的匀强磁场．电荷量q＝5×10 －13 C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压 U＝2.5 V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场(微粒 始终不与极板接触)，然后由XY边界离开台面．在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇。假定微粒在真空中运动，极板间电场视为匀强电场，滑块视为质点，滑块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s。 (1)求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板的极性； 2 (2)求由XY边界离开台面的微粒的质量范围； (3)若微粒质量m0＝1×10 －13 kg，求滑块开始运动时所获得的速度。 【解析】 (1)微粒在极板间所受电场力大小为 F＝，代入数据得F＝1.25×10N 由微粒在磁场中的运动可判断微粒带正电荷，微粒由极板间电场加速，故C板为正极，D板为负极。 (2)若微粒的质量为m，刚进入磁场时的速度大小为v，由动12 能定理知Uq＝mv 2 qUd-11 v2 微粒在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R，有qvB＝m R微粒要从XY边界离开台面，则圆周运动的边缘轨迹如图6所示，半径的极小值与极大值分别为 lR1＝与R2＝l－d 2 联立以上各式代入数据， 得：8．1×10 －14 kg －13 kg (3)如图7所示，微粒在台面以速度v做半径为R的圆周运动，把m0＝1×10 －13 kg代入（2）中前两式易得v＝5 m/s，R =1m；微粒从台面边缘P点沿 与XY边界成θ角飞出做平抛运动，落地点为Q，水平位移为s，下落时间为t.设滑块质量为M，滑块获得速度v0后在t内沿与平台前侧面成φ角方向，以加速度a做匀减速直线运动到Q，经过位移为k。由几何关系，可得cosθ＝ 根据平抛运动有t＝ 2h 和s＝vt l－R Rg对于滑块，由牛顿定律及运动学方程，有 μMg＝Ma和k＝v0t－at2 再由余弦定理k＝s＋(d＋Rsinθ)－2s(d＋Rsinθ)cosθ sinφsinθ及正弦定理＝ 2 2 2 1 2 sk代入数据，解得：v0＝4.15 m/s φ＝arcsin0.8(或φ＝53°) 【点评】本题综合程度高，难度大，涉及的运动有微粒的匀加速直线运动、匀速圆周运动和平抛运动以及滑块的匀减速直线运动。如能分清运动过程，综合各种常见运动的规律及熟练
带电粒子在分离电、磁场中的运动探讨
