课时过关检测（六十五） 概率与统计中的数据分析与数学建模
1．(2021·湖北武汉调研)为了增强消防意识，某部门从男、女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试(满分为100分)，这40名职工测试成绩的茎叶图如图所示：
(1)根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由． (2)(ⅰ)求这40名职工成绩的中位数m，并填写下面2×2列联表：
男职工 女职工 总计
(ⅱ)如果规定职工成绩不低于m为优秀，根据(ⅰ)中的2×2列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？
附：K2＝
n?ad－bc?2
.
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
P(K2≥k0) k0
解：(1)由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：
①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的中位数为73.5分； ②男职工的成绩的平均数高于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；
③男职工的成绩中，有75%的成绩不低于80分，女职工的成绩中，有75%的成绩低于80分；
④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．因此，男职工的成绩更好．
(注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可) 79＋81(2)(ⅰ)由茎叶图可知m＝＝80,2×2列联表如表：
2
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 不低于m的人数 低于m的人数 总计 40 第 1 页 共 7 页
男职工 女职工 总计
不低于m的人数 15 5 20 低于m的人数 5 15 20 总计 20 20 40 40×?15×15－5×5?2
(ⅱ)由表中数据，得K2＝＝10＞6.635，
20×20×20×20所以有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关．
2．(2021·合肥一中一模)某公司为了增强职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30 上传手机的计步截图，对于步数超过10 000的给予奖励．图①为甲、乙两名职工在某一星期内的运动步数折线统计图，图②为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图．
(1)在这一周内任选两天，求甲、乙两人这两天全部获奖的概率；
(2)请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15 000 的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；
(3)如果图②中的频率分布直方图所记录的那天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断作出的是星期几的频率分布直方图．
解：(1)由图①可知甲、乙两人步数均超过10 000的有星期一、星期二、星期五、星期日，共4天．
设事件A为甲、乙两人这两天全部获奖， C242则P(A)＝2＝. C77
(2)由图②可知(0.02＋0.03＋0.04＋0.06＋m)×5＝1， 解得m＝0.05，
所以该天运动步数不少于15 000的人数为(0.05＋0.03)×5×200＝80. 2．5×0.1＋7.5×0.2＋12.5×0.3＋17.5×0.25＋22.5×0.15＝13.25(千步)，
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13．25千步＝13 250步，
所以估计全体职工在该天的平均步数为13 250步． (3)130÷200＝0.65,40÷200＝0.2，
假设甲当天的步数为x千步，乙当天的步数为y千步． 法一：由频率分布直方图可得
??0.03×5＋0.05×5＋?15－x?×0.06＝0.65，? ??0.03×5＋?20－y?×0.05＝0.2，
65??x＝6，解得?所以可判断作出的是星期二的频率分布直方图．
??y＝19，法二：由频率分布直方图可得
??0.02×5＋0.04×5＋?x－10?×0.06＝1－0.65，? ??0.02×5＋0.04×5＋0.06×5＋?y－15?×0.05＝1－0.2，
65??x＝6，解得?所以可判断作出的是星期二的频率分布直方图．
??y＝19，
3．(2021·广东潮州二模)伴随着政府政策的引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家制定的税收、担保贷款等多方面的政策的扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年创收的年利润y(单位：万元)与年份代码t的数据，列表如下：
t y
(1)依据表中给出的数据，可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请通过计算相关系数r加以说明(计算结果精确到0.01)．(若|r|≥0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满500元可减50元．
2
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金
5奖励(假设顾客每次抽奖的结果相互独立)．
①某位顾客购买了1 050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现
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