（2）由（1）知PD,CD,AB两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D?xyz，
?，有PD?4， 4则A(0,?4,0),C(22,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4)
且PA与平面ABC所成的角为
∴CB?(?22,2,0),AC?(22,4,0),PA?(0,?4,?4) 因为AD?2DB,CE?2EB,?DE//AC,
由（1）知AC?BC,PD?平面ABC，∴ CB?平面DEP...............8分 ∴CB?(?22,2,0)为平面DEP的一个法向量.
??n?AC,?设平面PAC的法向量为n??x,y,z?，则?
??n?PA,∴??22x?4y?0??4y?4z?0，令z?1，则x?2,y??1，...............10分
∴n?(2,?1,1)为平面PAC的一个法向量. ∴cos?n,CB???4?23??.
24?123, 2故平面PAC与平面PDE的锐二面角的余弦值为
所以平面PAC与平面PDE的锐二面角为
30?................12分
20.解析：（1）由题意
?3aba?4b22?c，即
3a2b2?c2(a2?4b2)?(a2?b2)(a2?4b2).
2................4分 2（2）因为三角形?PQF2的周长为42，所以4a?42,?a?2,
所以a?2b，?e?22x2?y2?1，且焦点F1(?1,0),F2(1,0)， 由（1）知b?1，椭圆方程为222),Q(?1,?)， ①若直线l斜率不存在，则可得l?x轴，方程为x??1,P(?1,22722F2P?(?2,),F2Q?(?2,?)，故F2P?F2Q?................6分
222②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)， ?y?k(x?1),2222y由?2消去得(2k?1)x?4kx?2k?2?0， 2?x?2y?24k22k2?2,x1x2?2................8分 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??22k?12k?1F2P?F2Q?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(x1?1)(x2?1)?y1y2,
2则F2P?F2Q?(k2?1)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?k2?1.
2k2?24k27k2?17922代入韦达定理可得F2P?F2Q?(k?1)?(k?1)(?)?k?1???, 22222k?12k?12k?122(2k?1)277FP?FQ?(?1,)FP?FQ?(?1,]， 由k?0可得2，结合当k不存在时的情况，得2222227...............12分 2ax?1,(x?0)21.解析：（1）f?(x)?ax2
当a?0时，f?(x)?0恒成立，所以函数f?x?是?0,???上的单调递增函数；
所以F2P?F2Q最大值是
ax?11?0x?，得， ax2aax?11f?(x)??00?x?，得，
ax2a11函数单调递增区间为(,??)，减区间为(0,).
aa综上所述，当a?0时，函数f?x?增区间为?0,???..
当a?0时，f??x??当a?0时，函数单调递增区间为(,??)，减区间为(0,)................4分
1a1a1e即方程(lnx?1)ex?x?m的根.
x（2）∵x?[,e]，函数g(x)?(lnx?1)ex?x?m的零点，
?1??lnx?1?ex?1.................6分 ?x?11由（1）知当a?1时， f?x??lnx??1在[,1)递减，在?1,e?上递增，∴f?x??f?1??0.
ex11∴?lnx?1?0在x?[,e]上恒成立.
ex?1?∴h??x????lnx?1?ex?1?0?1?0，...............8分
?x?1x∴h?x???lnx?1?e?x在x?[,e]上单调递增.
e11?1?∴h?x?min?h????2ee?，h(x)max?e..........10分
e?e?令h?x???lnx?1?e?x，h??x???111所以当m??2e?或m?e时，没有零点，当?2ee??m?e时有一个零点................12分
ee?x?1?tcos?,(t为参数）.22.(1)直线l的参数方程为：?
y?tsin?? ……2分
1e???8cos?2222，??sin??8cos?,??sin??8?cos?,即y?8x. 2 sin??2x?1?t,???2(t为参数）,（2）当??时，直线l的参数方程为：?4?y?2t?2?
22y?8x可得t?82t?16?0, 代入
……5分
……6分
设A、B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1?t1?82,t1?t2??16
?AB?t1?t2?(t1?t2)2?4t1?t2?83.
……8分
又点O到直线AB的距离d?1?sin?S?AOB??4?2,2
……10分
112AB?d??83??26.222
……1分
23.（本小题满分10分）
解：(1)由已知，可得x?3?2x?1,即x?3?2x?1.22
则有：3x2?10x?8?0,
2?x??或x?4. ……3分 32故所求不等式的解集为：(??,?)?(4,??). 3……4分
???4x?5,x??3,?1?(2)由已知，设h(x)?2f(x)?g(x)?2x?3?2x?1??7,?3?x?, 2?1?4x?5,x?.??2……6分当x??3时，只需?4x?5?ax?4恒成立,即ax??4x?9,
?4x?99?x??3?0?a???4?恒成立.xx
9?a?(?4?)max,?a??1,x ……7分 1当?3?x?时，只需7?ax?4恒成立,即ax?3?0恒成立.
2??3a?3?0?a??1?只需?1,??,??1?a?6. ……8分
a?6a?3?0???21当x?时，只需4x?5?ax?4恒成立,即ax?4x?1.
214x?11?x??0,?a??4?恒成立.
2xx1?4??4,且无限趋近于4，
x
?a?4. ……9分
综上，a的取值范围是(?1,4]. ……10分
郑州市2024年高中毕业班第一次质量预测理科数学试卷含答案 - 图文
