2011年复旦千分考（数学部分）
（注： 1. 此版本为回忆版，无限接近正式版，且最后附有参考答案；
2. 在2011年复旦千分考中的数学部分的题号是从113到144，共计32题）
1. 若对一切实数x都有x?5?x?7?a则实数a的取值范围是 . A. a?12 B. a?7 C. a?5 D. a?2 答案：A
解析：本题为恒成立问题a?x?5?x?7??min，又由绝对值不等式可知
x?5?x?7?(x?5)?(x?7)?12，所以a?12
此题求最大值乐意利用绝对值的定义，或者利用函数y?x?5?x?7（平底锅函数）的性质。 类题：
（2012，静安区一模）已知函数f(x)?x?1?x?1?x?a的图像关于垂直于x轴的直线对称，则a的取值集合是 ??3,0,3?
（2011年北约自主招生）求x?1?2x?1?2011x?1的最小值。
2. 设有集合S?xlogx(3x?4x)?2,x?0,T?xlogx(2x?kx)?2,x?0，满足S?T的
实数k的取值范围是 .
A. k?2 B. k?2 C. k?2 D. k?2
3. 设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和，则这样的n个数是 .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数sin(x)，cos(x)，xsinx，xcosx中为周期函数的个数是 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 分析：用函数的周期性定义验证。
2?2??
22?222
设T?0，用x?T代换x，则sin[(x?T)]?sin(x?2Tx?T)；cos[(x?T)]?cos(x?2Tx?T) 由于2Tx不是定值，所以随着x的变化，正弦值和余弦值都会随着x的变化而变化，而不会有恒等式
222222sin[(x?T)2]?sin(x2)；cos[(x?T)2]?cos(x2)；故sin(x2),cos(x2)不是周期函数；
令T?2?，则(x?2?)sin(x?2?)?xsinx?2?sinx，(x?2?)cos(x?2?)?xcosx?2?cosx 由于2?sinx，2?cosx均不恒为零，所以不会有恒等式(x?2?)sin(x?2?)?xsinx，(x?2?)cos(x?2?)?xcosx，故xsinx,xcosx不是周期函数
5. 设x1?0,xn?1?A. 数列?xn?是单调增加的； B. 数列?xn?是单调减的；
3(1?xn),n?1,2,33?xn
那么 .
C. 数列?xn?或是单调增加的，或是单调减的； D. 数列?xn?既非单调增加的，也非单调减的 参考答案：C
3(1?xn)63?xn2?3?,x?x?分析：首先利用xn?0,xn?1?，
3?xn3?xnn?1n3?xn当xn?3时，可知xn?1?3，从而xn?1?xn?0，此时?xn?是单调增加的， 当xn?3时，可知xn?1?3，从而xn?1?xn?0，此时?xn?是单调减的， 当xn?3时，可知xn?1?3，从而xn?1?xn?3，此时?xn?是单调的， 所以单调性由x1的范围来决定的
注意函数单调性定义，在全国教材中它是指：若x1?x2，则有“f(x1)?f(x2)”或
“f(x1)?f(x2)”则称“单增”或单减”。而对x1?x2时，有
“f(x1)?f(x2)”或“f(x1)?f(x2)”时，称为“严格单增”或“严格单减”。在不特别要求
下，也可称为“单增”或“单减”。 6. 将复数Z?(cos75??isin75?)所对应的向量按顺时针方向旋转15?则所得向量所对应的复数
是 .
313133131i D. ?i ?i B. ??i C. ?222222223考点：拓展内容，向量的三角形式，Z?(cos75??isin75?)=(cos225??isin225?)，再顺时针旋转15?，得到(cos210??isin210?)，再转化为一般形式即可得到答案为B
A. ?拓展内容：
(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量
，以x轴的正半轴为始边，向量
所在的射线(起点为
O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．
说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍． (2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中
．
说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．
(3)复数的三角形式的运算：
设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则
7. 以复数Z1,Z2,Z3和W1,W2,W3为对应顶点的复平面上的两个三角形相似是等式
Z2?Z1W2?W1?Z3?Z2W3?W2成立的 .
A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
分析：本题考察复数的三角表示和除法运算：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，有公式： 若Z1?r1?cos?1?isin?1?,Z2?r2?cos?2?isin?2?，则
Z1r1??cos??1??2??isin??1??2??， ??Z2r2还考察两个复数相等，当且仅当模相等且辅角相等.
解：选A.复数Z2?Z1，Z3?Z2的模分别为?Z1Z2Z3的两条边|Z1Z2|和|Z2Z3|，辅角差为??Z2， 复数W2?W1，W3?W2的模分别为?WW12W3的两条边|W1W2|和|W2W3|，辅角差为??W2, 必要性：因为
Z2?Z1|Z1Z2|??cos???Z2??isin???Z2???， Z3?Z2|Z3Z2|?Z2?Z1W2?W1W2?W1|WW|?12?cos??W?isin??W?，且 ， ?????22?W3?W2|W3W2|?Z3?Z2W3?W2所以
|Z1Z2||WW|?12且?Z2??W2，
|Z3Z2||W3W2|即?Z1Z2Z3和?WW12W3对应边成比例，夹角相等，所以?Z1Z2Z3相似于?WW12W3.
充分性：若?Z1Z2Z3相似于?WW12W3，不一定这两组边对应成比例，可能其他边对应成比例，所以充分性不成立.
综上，相似是等式
Z2?Z1W2?W1成立的必要但不充分条件，选A. ?Z3?Z2W3?W2
8. 从1到100这100个正整数中任取两个不同的整数，要求其和大于100，则取法总数为 .
A. 2450 B. 2500 C. 2525 D. 5050 解析：选B.
此题考查的是排列组合部分的内容，从1到100中取两个不同的数，要使得其和大于100，我们从1开始进行讨论：当取1时，另一个数只能取100，也就是说1的时候只有1种情况；当取2时，另一个数可以使100,99，所以取2的时候有2种情况，……，以此类推一直到50的时候，另一个数可以取
100,99，...51,共50种情况，但是当取51的时候，同理我们发现有100,99，...52,共49种情况；以此类推一直到取99的时候，就只能有100可以取了；最后100不能取了，因为会跟前面的情况重合，所以将上面的情况加起来得到：1+2+3+...+50+49+48+...+1=2500，故选B。
另解，当列举取到51以后，我们可以用组合的思想，从51，,52，……，100中任取两个数，其和
22都会大于100，共C50种取法，所以总计1+2+3+...+50+C50?2500，故选B.
这种类型的题目在2009年的第18、19题都出现过，2010年没有类似的题目。
9. 在半径为1的圆周上随机取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是 . A.
1111 B. C. D. 2345m(g)，这一类概率称m(S)分析：本题考察几何概率.选C.
若记A(g)?{在区域S中随机的取一点，而该点落在区域g中}，则P(A)?为几何概率。
解法1：如图1，在单位圆O上随机取A、B、C三点，设AB?x，BC?y，CA?z，在平面直角坐标系,将 x,y 作为点的横坐标与纵坐标,这样所有的点(x,y)就构成了平面图形, 问题就转化为二维几何概型。则样本空间为
???0?x?2??????0?y?2??2????x,y?|??,它构成的图形为?OEF内部,面积为S1?2?,
??0?z?2?????z?2??x?y???
2011年复旦千分考数学试题
