考前冲刺分类提分练习： 《图形的相似》
一．选择题
1．（2024?天台县模拟）如图，在△ABC中，点E是线段AC上一点，AE：CE＝1：2，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，若△ABE的面积等于4，则△BCD的面积等于（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
2．（2024?河北模拟）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
3．（2024?道里区模拟）如图，在?ABCD中，点E在AD边上，BE交对角线AC于点F，则下列各式错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（2024?青山区模拟）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边
AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，AH交DG于点P，已知BC＝6，AH＝4．当矩形DEFG面积
最大时，HP的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024?雨花区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①F为CD的中点；②3AM＝2DE；③tan∠EAF＝；④PN＝∽△DPE，正确的结论个数是（ ）
；⑤△PMN
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024?无锡模拟）如图，在△ABC中，点E、F在边BC上，点E、B不重合．BE＝CF，点D在边AC上，连接ED、DF，∠A＝∠EDF＝120°，若为（ ）
＝m，
，则m的值
A． B． C． D．
7．（2024?无锡模拟）如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠BAD＝∠BAC．在AD上有一点E，∠EBA＝∠ACB＝120°．若AC＝2BC＝2，则DE的长（ ）
A． B． C． D．
8．（2024?襄城区校级模拟）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、
CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列
结论中错误的是（ ）
A．FB垂直平分OC C．S△AOE：S△BCM＝3：2
B．DE＝EF D．△EOB≌△CMB
9．（2024?杨浦区一模）如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE＝2DE B．△CFP～△APH C．△CFP～△APC D．CP2＝PH?PB
10．（2024?拱墅区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是边AC上一点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，BD平分∠ABC，以下四个结论①△BQD是等腰三角形；②BQ＝DP；③PA＝QP；④数（ ）
＝（1+
）2；其中正确的结论的个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024?崇明区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12．（2024?河北模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF交于点P，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④CF2＝PE?BF；⑤线段MN的最小值为中正确的结论有（ ）
．其
A．2个
二．填空题
B．3个 C．4个 D．5个
13．（2024?奉贤区一模）已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当
的值是 时，DE∥BC．
14．（2024?汉阳区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，
CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ．
15．（2024?涡阳县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△
EFC和△ABC相似，则BD的长为 ．
16．（2024?巩义市一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P是线段AD上的动点，过P作PF⊥AE于F，当以点P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似时，
AP的长为 ．
17．（2024?虹口区一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC＝，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为 ．
18．（2024?河北模拟）如图所示，n+1个直角边长为3的等腰直角三角形△AB1C1，△C1B2C2……，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1Dn?n的面积为
Sn，则S1＝ ；S4＝ ．
19．（2024?顺德区校级模拟）将2024个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，
A1，A2，A3…A2024和点M，M1，M2…M2024是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2024分别交
正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2024M2017于点N1，N2，N3…N2024，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2024为 ．
三．解答题
20．（2024?顺德区模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P． （1）求∠DAE的度数； （2）求BP的长．
21．（2024?碑林区校级三模）小明家附近的广场中央有一个类似于电视塔一样的标志性建筑物，小明想利用所学知识测量这个建筑物的高度，他观察发现这个建筑物的底部地面上有一个大大的圆形图案，建筑物正好位于这个圆形图案的中心，并且该建筑物周围是一大片开阔地带，于是他灵机一动设计了如下的测量方案：早晨10：00，他测得太阳光下建筑物的影子落在圆外的部分长约为6米（如图1，GH＝6），此时小明的影子长为1.8米；中午13：00的时候，他
测得太阳光下建筑物的影子落在圆外的部分长约为1米（如图2，G'H′＝1），此时小明的影子长为1米．已知小明身高为1.8米，求建筑物的高（即EF的长）．
22．（2024?河北模拟）在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，同时点Q从点C出发，以v个单位每秒的速度向B运动．当有一个点到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t． （1）若v＝2，t＝1，求△PQB的面积．
（2）若在运动过程中，PQ始终平行于AC，求v的值．
23．（2024?静安区一模）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE?DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G． （1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由； （2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；
（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．
24．（2024?余干县模拟）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠
EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转
过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA那交于点Q． （1）求证△BPE∽△CEQ；
（2）当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长；
25．（2024?蜀山区校级模拟）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B． （1）求证：AB?CE＝BD?CD；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；
（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE＝4，求DE的长．
26．（2024?山西模拟）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（ Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是OABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足
．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．
过点C作CM∥DE交AB于点M，则
，
（依据）
∴＝
．
∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，即
情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F． …
（1）情况①中的依据指：
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC．上的点，且AD：DB＝CF：FA＝2：3，连接
DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE：CE＝ ．
27．（2024?成都模拟）已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE＝90°
（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF， ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE＝2，AE＝4，求EF的长；
（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若
＝k，BE＝1，AE＝3，
CE＝4，求k的值．
28．（2024?谷城县校级模拟）已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD．
（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：△APC∽△DQC；
（2）如图2，当∠BAD＝120°时，过点C作CK⊥BC交BD于点K， ①求证：∠ACP＝∠KCQ；
②探究：三条线段DQ，BP，CD的数量关系？
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F，若
，EF＝
，求线段CD的长．
参考答案
一．选择题 1．解：∵CD∥AB ∴△ABE∽△CDE 又∵AE：CE＝1：2 ∴
＝
∵S△ABE＝4 ∴S△CDE＝16 ∵AE：CE＝1：2 ∴CE＝2AE
∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等 ∴S△BCE＝2S△ABE ∵S△ABE＝4 ∴S△BCE＝2×4＝8
∴S△BCD＝S△CDE+S△BCE＝16+8＝24 故选：C． 2．解：如图，由题意
根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似， 可得FH：DE＝3：4， ∴
＝（
）2＝
，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x， ∴16x﹣9x＝7，解得x＝1， ∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28． 故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴∴
＝＝
，，
＝
，
＝
，
故A，C，D选项正确， 故选：B．
4．解：设HP＝x，则DE＝GF＝x， ∵四边形DEFG是矩形，
∴DG＝EF，DE＝GF＝HP＝x，DG∥EF， ∵AH⊥BC， ∴AH⊥DG， ∵DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴∴
＝＝
， ，
解得：DG＝6﹣x，
∴矩形DEFG的面积S＝DG×DE＝（6﹣x）x＝﹣（x﹣2）2+6， ∵﹣＜0，
∴S有最大值，当x＝2时，S的最大值是6， 即当HP＝2时，矩形DEFG的面积最大， 故选：B．
5．解：①∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1， ∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°， ∴∠DAN＝∠EDC， 在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA）， ∴DF＝CE＝1，AF＝DE， ∴DF＝CF． 故①正确； ②∵AB∥DF， ∴△ABM∽△FDM， ∴∴∴
． ，
，
即3AM＝2DE． 故②正确；
③由勾股定理可知：AF＝DE＝AE＝∵×AD×DF＝×AF×DN， ∴DN＝∴EN＝
， ，AN＝
＝
，故③正确，
，
＝
，
∴tan∠EAF＝④作PH⊥AN于H． ∵BE∥AD， ∴∴PA＝
， ，
∵PH∥EN，
∴∴AH＝∴PN＝故④正确，
， ，HN＝
＝
，
，
⑤∵PN≠DN， ∴∠DPN≠∠PDE， ∴△PMN与△DPE不相似， 故⑤错误． 故选：D．
6．解：如图2，过E作EH∥AB，交AC于H，过D作DM⊥EH于M，过F作FG∥ED，交AC于
G，
∵BE＝CF，∴
，
，
∵FG∥ED， ∴
，
∴设CG＝3a，DG＝7a， ∵
＝m，∠A＝∠EDF＝120°，
∴△ABC∽△DFE， ∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC＝10a， ∵FG∥DE，
∴∠GFC＝∠DEF＝∠C， ∴FG＝CG＝3a，
同理由（1）得：△EHD∽△DFG， ∴
，即，
，
DH＝
Rt△DHM中，∠DHM＝60°， ∴∠HDM＝30°， ∴HM＝DH＝∴EM＝∴EH＝
，DM＝＝
a，
＝
a，
a﹣a＝a，
∴m＝＝＝．
故选：B．
7．解：如图，作AH⊥DC交DC的延长线于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，∠ACH＝60°， ∴CH＝1，AH＝∵BC＝1， ∴BH＝BC+CH＝2， 在Rt△ABH中，AB＝
＝
，
，
∵∠EAB＝∠BAC，∠ABE＝∠ACB， ∴△EAB∽△BAC， ∴∴
＝＝
＝＝
， ， ，
∴AE＝3.5，EB＝
∵∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝∠ACB+∠BAC，∠ABE＝∠ACB， ∴∠DBE＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠BAD， ∴∠DBE＝∠BAD， ∵∠D＝∠D， ∴△DEB∽△DBA， ∴
＝
＝
，
∴＝＝，
∴DE＝， 故选：C．
8．解：∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB＝OC， ∵∠COB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC， ∵FO＝FC，
∴FB垂直平分OC，故A正确； ∵△BOC为等边三角形，FO＝FC， ∴BO⊥EF，BF⊥OC， ∴∠CMB＝∠EOB＝90°， ∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；故D错误； 易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°， ∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝∠DFE， ∴DE＝EF，故B正确； 易知△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△COF＝2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝∵∠FCO＝30°， ∴FM＝∴
，BM＝
，
CM，
＝，
∴S△AOE：S△BCM＝3：2，故C正确； 综上可知结论中错误的是选项D， 故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∵△APB是等边三角形， ∴∠PAB＝∠PBA＝∠APB＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∴AE＝2DE，故A正确， ∵AB∥CD，
∴∠PFE＝∠ABP＝∠APH＝60°，
∵∠AHP＝∠PBA+∠BAH＝60°+45°＝105°， 又∵BC＝BP，∠PBC＝30°， ∴∠BPC＝∠BCP＝75°， ∴∠CPF＝105°，
∴∠PHA＝∠CPF，
∴△CFP∽△APH，故B正确， ∵∠CPA＝60°+75°＝135°≠∠CPF， ∴△CFP与△APC不相似，故C错误， ∵∠PCH＝∠PCB﹣∠BCH＝75°﹣45°＝30°， ∴∠PCH＝∠PBC， ∵∠CPH＝∠BPC， ∴△PCH∽△PBC， ∴
＝
，
∴CP2＝PH?PB，故D正确， 故选：C．
10．解：∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD， ∴∠QBD＝∠BDQ， ∴QB＝QD，
∴△BQD是等腰三角形，故①正确， ∵QD＝DF，
∴BQ＝PD，故②正确， ∵PQ∥AB， ∴
＝
，
∵AC与BC不相等，
∴BQ与PA不一定相等，故③错误， ∵∠PCQ＝90°，QD＝PD， ∴CD＝QD＝DP，
∵△ABC∽△PQC， ∴
＝（
）2＝（
）2＝（1+
）2，故④正确，
故选：C． 11．解：∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC， ∴∴即
，， ，
，
故选：B． 12．解：如图，
∵动点F，E的速度相同， ∴DF＝CE， 又∵CD＝BC， ∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确； ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故②正确； ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠APB＝90°，故③正确； 在△BPE和△BCF中，
∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF， ∴△BPE∽△BCF， ∴
，
∴CF?BE＝PE?BF，
∵CF＝BE，
∴CF2＝PE?BF，故④正确； ∵点P在运动中保持∠APB＝90°， ∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小， 在Rt△BCG中，CG＝∵PG＝AB＝， ∴MN＝CP＝CG﹣PG＝即线段MN的最小值为综上可知正确的有4个， 故选：C．
，
，故⑤错误；
，
二．填空题（共7小题） 13．解：∵要使DE∥BC，则需∴
故答案为：
，
14．解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，
∵点M，点N是AD，BC的中点， ∴AM＝MD＝BN＝NC＝4， ∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形， ∵AB＝AM＝4， ∴四边形ABNM是菱形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABNM是正方形， ∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°， ∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH， ∴△ABG≌△AMH（SAS）， ∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH， ∵∠EAF＝45°， ∴∠MAH+∠BAE＝45°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°， 又∵AG＝AH，AE＝AE ∴△AEG≌△AEH（SAS） ∴EH＝GE， ∴EH＝2+MH，
在Rt△HEN中，EH2＝NH2+NE2， ∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4， ∴MH＝ ∵MN∥CD， ∴△AGM∽△AFD，
∴
∴DF＝×＝， 故答案为：．
15．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC＝
＝
＝3，
若△CEF与△ABC相似，分两种情况： ①若CF：CE＝3：4， ∵AC：BC＝3：4， ∴CF：CE＝AC：BC， ∴EF∥AB．
连接CD，如图1所示： 由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴cosB＝
＝，
；
∴BD＝BC?cosB＝4×＝②若CE：CF＝3：4，
∵AC：BC＝3：4，∠C＝∠C， ∴△CEF∽△CBA， ∴∠CEF＝∠A． 连接CD，如图2所示：
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠B＝∠ECD， ∴BD＝CD．
同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD， ∴D点为AB的中点，
∴BD＝AB＝， 故答案为
或．
16．解：分两种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB，
∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形， ∴PA＝EB＝3，即x＝3．
②若△PFE∽△ABE，如图2中，则∠PEF＝∠AEB，
∵AD∥BC
∴∠PAF＝∠AEB， ∴∠PEF＝∠PAF ∴PE＝PA． ∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点， Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， ∴AE＝5， ∴EF＝AE＝， ∵△PFE∽△ABE， ∴
＝
，
∴＝， ∴PE＝
，即x＝
．
．
∴满足条件的x的值为3或故答案为3或17．解：如图，
．
∵FB′⊥AB， ∴∠BAF＝90°，
∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC＝∠C， ∴sin∠ABC＝sin∠C＝
＝，
设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k， ∴k＝3，
∴AF＝12，BF＝15，
∵AD∥BF， ∴△APD∽△FPB， ∴
＝
＝
＝， ，
∴PA＝PA＝故答案为
．
18．解：连接B1、B2、B3、B4、B5，如图所示：
∵n+1个直角边长为 的等腰直角三角形斜边在同一直线上，
B1、B2、B3、B4、B5 的连线与直线AC5平行，
∵等腰直角三角形的直角边长为3， ∴S△AB1C1＝×3×3＝，
由题意可知，△B1C1B2为直角边为3的等腰直角三角形， ∴△AC1D1∽△B2B1D1 ∴
＝
＝1，
S1＝S△B1C1B2＝×＝，
同理可得△B2D2B3∽△C2D2A， ∴
＝
＝，
∴S2＝S△B2B3C2＝×＝3， 同理可得：△B3D3B4∽△C3D3A， ∴
＝
＝，
S3＝S△B3B4C3＝×＝
∴S4＝S△B4B5C4＝×＝
， ．
故答案为：，．
19．解：如图所示，设左边第一个正方形左上角的顶点为O
∵将2024个边长为1的正方形按如图所示的方式排列 ∴OA∥MA1∥M1A2∥M2A3∥…∥M2024A2024 ∴△M1MN1∽△M1OA ∴
＝
＝
∴MN1＝
∴四边形M1N1A1A2的面积是S1＝1﹣×1×＝；
同理可得：＝＝
∴四边形M2N2A2A3的面积S2＝1﹣×1×＝； …
∴四边形MnNnAnAn+1的面积Sn＝1﹣∴S2024＝故答案为：
．
＝
三．解答题（共9小题）
20．解：（1）∵四边形ABCD的正方形， ∴∠ACB＝45°，AD∥BC， ∵AC＝EC， ∴∠E＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠E+∠EAC＝45°， ∴∠E＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1， ∴AB＝1，∠DAB＝90°，∠DBC＝45°， ∵∠DAE＝22.5°，
∴∠BAP＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠APB＝∠E+∠DBC＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠BAP＝∠APB， ∴BP＝AB＝1．
21．解：设HF＝a米，则GF＝GH+HF＝（6+a）米， 根据题意，得 ＝
即
＝1，
解得EF＝a+6．
根据题意，由如图2得，
＝即
，
＝1.8，
解得EF＝1.8a+1.8，
∴6+a＝1.8a+1.8，解得a＝5.25， ∴EF＝GF＝6+a＝11.25（米）． 答：建筑物的高为11.25米．
22．解：（1）∵AB＝8，BC＝6，点P从点A出发，速度为4个单位每秒，v＝2，t＝1 ∴AP＝4×1＝4，CQ＝2×1＝2 ∴PB＝8﹣4＝4，BQ＝6﹣2＝4
∴△PQB的面积为：PB×BQ÷2＝4×4÷2＝8． 答：△PQB的面积为8． （2）∵PQ始终平行于AC ∴△BPQ∽△BAC ∴
＝
∵PQ始终平行于AC ∴不妨取t＝1 ∴
＝
解得：v＝3 答：v的值为3．
23．解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下： ∵AB2 ＝BE?DC， ∴
＝
，
∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
＝
，
∴△ABE∽△DCA． ∵△ABE∽△DCA， ∴∠AED＝∠DAC．
∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC， ∴∠DAE＝∠C． ∴△ADE∽△CDA； （2）∵△ADE∽△CDA， 又∵DF平分∠ADC， ∴
＝
＝
，
设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a， ∴
＝
，
解得：AD＝2∴
＝
＝
a，
＝
；
（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠DAE＝∠C＝45° ∵DG⊥AE，
∴∠DAG＝∠ADF＝45°，
∴AG＝DG＝∴EG＝
AD＝
＝+
×2a＝a，
＝
a，
∴AE＝AG+EG＝（∵∠AED＝∠DAC， ∴△ADE∽△DFA， ∴
＝
，
）a，
∴DF＝＝＝4（﹣）a，
∴＝＝．
24．解：
（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°， ∵∠BEQ＝∠EQC+∠C＝∠BEP+∠DEF， ∴∠BEP＝∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ；
（2）解：由（1）得△BPE∽△CEQ， ∴
＝
．
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE， ∴BE2＝18， ∴BE＝CE＝3∴BC＝6
．
，
25．（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
∵∠ADC为△ABD的外角， ∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB， ∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴AB?CE＝BD?CD；
（2）解：设BD＝x，AE＝y，
由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x）， 整理得，y＝x2﹣x+5 ＝（x﹣3）2+∴AE的最小值为
， ；
（3）解：作AF⊥BE于F， 则四边形ADEF为矩形， ∴EF＝AD＝3，AF＝DE， ∴BF＝BE﹣EF＝1， 设CD＝x，CE＝y， 则AF＝DE＝x+y，
由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，
∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2， ∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8， 解得，x＝∴DE＝x+y＝
，y＝．
，
26．解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 故答案为两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．则有∴
?
＝
?
，
＝，＝，＝，
∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC， ∴
（3）如图3中，∵∴
＝．
?
?
＝1，AD：DB＝CF：FA＝2：3，
?
?
＝1．
故答案为．
27．解：（1）①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形， ∴∠ECF＝∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝∠ACE，
∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形， ∴CE＝∴∴
CF，AC＝
＝，
，
CB，
∴△BCF∽△ACE；
②由①知，△BCF∽△ACE， ∴∠CBF＝∠CAE，∴BF＝
＝
×4＝2
， ，
AE＝
∵∠CAE+∠CBE＝90°， ∴∠CBF+∠CBE＝90°， 即：∠EBF＝90°， 根据勾股定理得，EF＝
（2）如图（2），连接BF，
＝
＝2
；
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝同理，tan∠ECF＝k， ∴tan∠ACB＝tan∠ECF， ∴∠ACB＝∠ECF， ∴∠BCF＝∠ACE，
＝k，
在Rt△ABC中，设BC＝m，则AB＝km， 根据勾股定理得，AC＝
＝m；
在Rt△CEF中，设CF＝n，则EF＝nk，同理，CE＝n∴，＝，
∴，
∵∠BCF＝∠ACE， ∴△BCF∽△ACE， ∴∠CBF＝∠CAE， ∵∠CAE+∠CBE＝90°， ∴∠CBF+∠CBE＝90°， 即：∠EBF＝90°， ∵△BCF∽△ACE， ∴
，
∴BF＝∵CE＝4， ∴nAE＝，
＝4，
∴n＝，
∴EF＝，
在Rt△EBF中，根据勾股定理得，BE2+BF2＝EF2， ∴12+（
）2＝（
）2，
∴k＝或k＝﹣
．
（舍），
即：k的值为
28．（1）证明：如图1，连接AC，在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形．
∴∠PCQ＝∠CDQ＝45°，∠PAC＝∠QDC＝∠ACD＝45° ∴∠ACP+∠ACQ＝∠ACQ+∠QCD＝45°， ∴∠ACP＝∠QCD ∴△APC∽△DQC．
（2）①证明：如图2﹣1中，连接AC，过点C作CK⊥BC交BD于点K．
∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∵∠BCK＝90°， ∴∠ACK＝30°， ∵∠PCQ＝∠ABD＝30°， ∴∠PCQ＝∠ACK， ∴∠ACP＝∠QCK．
②解：结论：
DQ+BP＝2CD．
理由：如图2﹣2中，作∠QCM＝∠PCQ，过B作BL∥CM．
∵BL∥CM，LM∥BC，
∴四边形BCML是平行四边形， ∴BC＝LM＝AD， ∴AL＝DM， ∵∠QCM＝∠ADB， ∴∠CQD＝∠CKD， ∵CM∥BL， ∴∠CMD＝∠BLD， ∴△DLB∽△DQC． ∴DL＝
DQ，
∵CD＝AD，AL＝DM，
∴CD+DM＝DQ，
又∵∠CAP＝∠CDM＝60°，∠ACD＝∠PCM＝60°， ∴∠ACP＝∠DCM， ∵CA＝CD，
∴△ACP≌△DCM（ASA）， ∴DM＝AP，
∴CD+DM＝CD+AP＝2CD﹣BP＝即
（3）解：如图3中，
DQ，
DQ+BP＝2CD．
在菱形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝30°， ∵∠PCQ＝∠ABD＝30°， ∴∠PCQ＝∠CDQ． ∵BM∥CD， ∴∠PMC＝∠DCQ， ∴△DQC∽△MPC
∴CQ：PM＝DC：MC＝5：7， ∴BC：MC＝5：7．
设BC＝5k，则MC＝7k，如图3，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB＝90°
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°． ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴BG＝k，CG＝在Rt△MGC中，MG＝∴BM＝8k． ∵AB＝BC＝5k， ∴AM＝BM﹣AB＝3k． ∵AM∥CD， ∴∠AMC＝∠DCM， ∵∠AEM＝∠DEC， ∴△AME∽△DCE， ∴AM：DC＝AE：DE． ∴AE＝
k．
＝
k，
k．
延长CF、BM交于H，则∠DCF＝∠MHC ∵FC平分∠ECD， ∴∠ECF＝∠DCF， ∴∠MCH＝∠MHC， ∴MH＝MC＝7k， ∴AH＝AM+MH＝10k． ∵∠HFA＝∠CFD， ∴△DFC∽△AFH， ∴DF：AF＝DC：AH ∴AF＝∵EF＝∴k＝1． ∴DC＝5．
k，EF＝AF﹣AE＝
，
k，
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