2.3.1直线与平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( ) A．平行 C．在平面α内
B．垂直 D．无法确定
解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面
α内的两直线平行时，l?α或l∥α或l与α斜交．
2．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α. ②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α. ③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α. A．3 C．1
B．2 D．0
解析：选B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．
3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 C．垂直但不相交
B．垂直相交 D．相交但不垂直
解析：选C 连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( ) A.5 C．35
B．25 D．45
解析：选D 如图所示，作PD⊥BC于D，连AD. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD. ∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4， ∴PD＝ 8＋4＝45.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( ) A.2
3
B.3 3
2
2
第1页 共3页
2C. 3
D.
6 3
解析：选D 如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为
O1、O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的
角，即∠O1OD1，
|O1O|16
cos∠O1OD1＝＝＝.
|OD1|33
2二、填空题
6.在三棱锥V-ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)
解析：只要VC⊥面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可． 答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可) 7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有_________________________________；
(2)与AP垂直的直线有_____________________________________________________． 解析：(1)∵PC⊥面ABC，AB，AC，BC?平面ABC. ∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AP. 答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
8. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．
解析：连接A1C1，交B1D1于E，则A1C1⊥B1D1，即A1E⊥B1D1.又DD1⊥A1C1，即DD1⊥A1E，∴A1E⊥平面BB1D1D.连接BE，则∠A1BE是A1B与对角面BB1D1D1
所成的角．在Rt△A1BE中，∵A1E＝A1B，
2
∴∠A1BE＝30°，即A1B与对角面BB1D1D所成的角为30°. 答案：30° 三、解答题
9.如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB＋AM＝BM，所以MA⊥
2
2
2
AB.
第2页 共3页
又因为MA⊥AC，AB、AC?平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC， 所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角． 53
又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，
2所以sin∠MCA＝＝
MA323
＝. MC535
2
10.如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PAPD，E，F分别是BC，PC的中点．
证明：AD⊥平面DEF.
证明：取AD的中点G，连接PG，BG.
∵PA＝PD，∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1. 在△ABG中，∵∠GAB＝60°，AG＝1
2，AB＝1，
∴∠AGB＝90°，即AD⊥GB.
又PG∩GB＝G，∴AD⊥平面PGB，从而AD⊥PB.
∵E，F分别是BC，PC的中点，∴EF∥PB，从而AD⊥EF. 又DE∥GB，AD⊥GB，∴AD⊥DE， ∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面DEF. 第3页 共3页
＝
高中数学必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定及其性质习题 新人教A版必修2
