1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
典例精析
题型一 四种命题的写法及真假判断
【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假. (1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数； (2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.
【解析】(1)逆命题：若m＋n是奇数，则m，n都是奇数，假命题； 否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题； 逆否命题：若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题. (2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题； 否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题； 逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.
【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性. 【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是( ) A.若?p，则?q B.若?q，则?p C.若q，则p D.若?q，则p 【解析】选 B.
题型二 充分必要条件探究
【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若?p是?q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.
【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|3＜x＜5或－5＜x＜－3}.
由题设有：?q??p且?p不能推出?q，所以p?q且q不能推出p，所以A?B. 因为m＞0，所以(2－m，2＋m)?(3，5)，
故由2＋m≤5且2－m≥3?0＜m≤5－2，故实数m的取值范围为(0，5－2].
【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.
【变式训练2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝?的充要条件是( )
A.0≤a≤2 B.－2＜a＜2 C.0＜a≤2D.0＜a＜2
【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝?，所以如图，由画出的数轴可知，
即0≤a≤2.
题型三 充分必要条件的证明
11
【例3】设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有＋＋…＋
a1a2a2a3n－11
＝成立的充要条件是{an}为等差数列.
an－1ana1an
1 / 2
【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列，设其公差为d，则
1111111111＋＋…＋＝[(－)＋(－)＋…＋(－)] a1a2a2a3a2a3an－1anda1a2an－1anan－a1n－1111＝(－)＝＝. da1anda1ana1an
n－1111(2)(必要性)若＋＋…＋＝，
a1a2a2a3an－1ana1an则
1111n＋＋…＋＋＝， a1a2a2a3an－1ananan＋1a1an＋1
n－11n两式相减得＝－?a1＝nan－(n－1)an＋1.①
anan＋1a1an＋1a1an
于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，②
由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2). 112又由＋＝?a3－a2＝a2－a1，
a1a2a2a3a1a3
所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列.
【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求. π
【变式训练3】设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的( )
2A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
π
【解析】选B.若xsin x＜1，因为x∈(0，)，所以xsin x＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即
2ππππ
必要性成立.若xsin2x＜1，由于函数f(x)＝xsin2x在(0，)上单调递增，且sin2＝＞1，所
2222π
以存在x0∈(0，)使得x0sin2x0＝1.又x0sin x0＞x0sin2x0＝1，即x0sin x0＞1，所以存在x0′
2∈(0，x0)使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sin x0′≥1，故充分性不成立. 总结提高
1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.
2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：
①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.
3.p是q的充分条件，即p?q，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：P?Q，即PQ或P＝Q，必要条件正好相反.而充要条件p?q就相当于P＝Q.
4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p，则q”为真；②p?q；③p是q的充分条件；④q是p的必要条件.
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高考数学一轮复习总教案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
