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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
民族中学 王克伟
[教学目标]
知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，
体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导
出相应公式。”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、
勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]
教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. [教学过程]
一.新课引入 创设情境 引入课题： 想一想：cos15??
由上一节所学的两角差的余弦公式：cos(???)?cos?cos??sin?sin?同学们很容易想到：
，
ocos15?cos(45?30)?cos45cos30?sin45sin30?
oooooooo2?64cos75??那
o cos75?cos(30o?45o)??这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式： 二.、讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式
思考：由cos(???)?cos?cos?精品文档
?sin?sin?，如何求cos(???)??
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分析：由于加法与减法互为逆运算，??????(??)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以??代?得
cos(???)?cos[??(??)]?cos?cos(??)?sin?sin(??)?cos?cos??sin?sin?
1、
cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ cc上述公式就是两角和的余弦公式，记作(???)。
由两角和的余弦公式：(???)，我们现在完成课前的想一想：
cos75o?cos(30o?45o)?cos30ocos45o?sin30osin45o思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？
在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？
探索新知二
cos(??)?sin?
2结合(???)与(???)，我们可以得到
?cc????sin(???)?cos[?(???)]?cos[(??)??]?cos(??)cos??sin(??)sin?2222
?sin?cos??sin?cos?
2、
sin(???)?sin?cos??cos?sin?s那sin(???)??
上述公式就是两角和的正弦公式，记作(???)。 将上式sin(???)?sin?cos??sin?cos?中以??代?得
sin[??(??)]?sin?cos(??)?sin(??)cos??sin?cos??sin?cos?精品文档
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3、
sin(???)?sin?cos??cos?sin?
上述公式就是两角差的正弦公式，记作(???)。 探索新知三
stan(???)的公式的推导: 用任意角?、?的正切表示tan(???)、根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，我们可以推得：
sin(?+?)sin?cos?+cos?sin?tan(???)??cos(?+?)cos?cos?-sin?sin?当 cos?cos??0时，分子分母同时除以cos?cos?4、tan( ?
tan?+tan?+?)=1-tan?tan?上述公式就是两角和的正切公式， 记：T(?+?)同理
tan?-tan??-?)=5、tan(
1+tan?tan?
记上述公式就是两角差的正切公式， T(?-?)注意：两角和与差的正切公式在应用过程中， 1、必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan?，tan?，tan(?±?)只要有一个不存在就不能使用这个公式。 2、注意公式的结构，尤其是符号。 三、课堂练习
3???例3：已知sina??,?是第四象限的角，求sin(??),cos(??),tan(??)的值。5444
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sin?=-3,?是第四象限的角，得cos??1?sin2??1?(?3)2?4,解：由555 sin?3所以tan??
???242372于是有sin(??)?sincos??cossin?????(?)?; 444252510??，cos?4cos(
?4??)?cos?4cos??sin?4sin??242372???(?)?;2525103tan??tan??1 ?tan??14?tan(??)??4??7。41?tan?tan?1?tan?1?(?3)
44例4：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1)sin72。cos42。?cos72。sin42。; 70ocos70。?sin20。sin70。(2)sin;。1?tan15(3) .。1-tan15?
解：（1)由公式得：sin72。cos42。?cos72。sin42。?sin(72。?42。)?sin30。?
1;2。。。。。。。。(2)sin70cos70?sin20sin70?cos20cos70?sin20sin70
1?tan15。? (3)。1-tan15
?cos(20。?70。)?cos90。?0;tan45。?tan15。。。。?tan(45?15)?tan60?3。。1-tan45tan15四、拓展练习与提升
例5
13已知函数f(x)=cosx?sinx,22（1）、求f(x)的最小正周期及最大值；（2）、求f(x)的单调递增区间。???解：（1）、由已知f(x)=coscosx?sinsinx?cos(x?),
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则f(x)的最小正周期为T?2?;?(2)、令z=x?,由f(x)?cosz的单调递增区间为[2k???,2k?], 3?4? 由2k????x+?2k?,解得2k????x?2k??;333五、课后作业
1、已知函数f(?)=sin? ?cos?，（ 1）、求f(?)的单调区间；? （2）、当??[0,六、小结
2]时，求f(?)的最小值。1 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;
cos(???)?cos?cos??sin?sin?
cos(???)?cos?cos??cos?cos?sin(???)?sin?cos??cos?sin?
sin(???)?sin?cos??cos?sin?tanα-tanβtan(α-β)=1+tanαtanβtanα+tanβtan(α+β)=1-tanαtanβ2、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式。
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案教学内容
