课时分层作业(二十一) 双曲线的标准方程
(建议用时：40分钟)
一、选择题
x2y2
1．双曲线m＋＝1的焦距为( )
m－5A．25 C．5
B．5 D．10
x2y2
A [∵m－5＜0，∴0＜m＜5，方程化为标准方程为m－＝1，
5－m∴c2＝m＋5－m＝5，∴2c＝25．]
x2y2
2．双曲线25－9＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．22或2 C．22
B．7 D．5
A [∵a2＝25，∴a＝5．由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2．]
3．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )
x22
A．5－y＝1 x2
C．－y2＝1
25
y22
B．5－x＝1 x2y2
D．－＝1
42
x2y2
A [依题意可设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，
?a2＋b2＝6，则有?254
?a2－b2＝1，
2??a＝5，解得?
2??b＝1，
- 1 -
x22
故双曲线标准方程为5－y＝1．]
x2y2x2y214
4．已知双曲线m－n＝1(m＞n＞0)和椭圆5＋4＝1有相同的焦点，则m＋n的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9 x2y2
D [椭圆5＋4＝1是焦点在x轴上的椭圆， 且c2＝5－4＝1．
x2y2
双曲线m－n＝1(m＞n＞0)和椭圆有相同的焦点．
14?14?n4m
∴m＋n＝1(m＞n＞0)，∴＋＝?m＋n?(m＋n)＝5＋＋≥5＋2
mn?mn?9．
n4m1214
当且仅当m＝n，即m＝3，n＝3时取等号，∴m＋n的最小值为9．] 5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
y2
A．x－8＝1(x＞1)
2
n4m·＝mn
y2
B．x－10＝1(x＞0)
2
y2
C．x－8＝1(x＞0)
2y2
D．x－10＝1(x＞1)
2
A [设过点P的两切线分别与圆切于S，T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，
y2
故P点的轨迹方程为x－8＝1(x>1)．]
2
二、填空题
- 1 -
x2y2
6．已知点F1、F2分别是双曲线a2－9＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是 ．
34 [因为|PF1|＝2|PF2|＝16， 所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，
所以a＝4，又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10． △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34．]
x2y2
7．已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1(－2，0)，F2(2,0)，点P(3，7)在双曲线上，则双曲线方程为 ．
x2y2
2－2＝1 [|PF1|＝|PF2|＝
[?3－?－2?]2＋?7?2＝42，
?3－2?2＋?7?2＝22，
|PF1|－|PF2|＝22＝2a，所以a＝2， 又c＝2，故b2＝c2－a2＝2． x2y2
所以双曲线方程为2－2＝1．]
x2y2
8．已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线4－12＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝?4－1?2＋42＝25＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|
＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]
三、解答题
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
- 1 -
[解] (1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k<0时，方程变为y2x2
4－4＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
－k0 (4)当4＋4＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； k(5)当k>1时，方程变为x24＋y2 4＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． k10．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P(4，－2)和点Q(26，22)； (2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． [解] (1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． ∵点P(4，－2)和点Q(26，22)在双曲线上， ?1?16m＋4n＝1， ?∴??m＝8，?8n＝1， 解得 ?24m＋???n＝－14， ∴双曲线的方程为x2y2 8－4＝1． (2)法一：依题意可设双曲线方程为x2－y2 a2b2＝1(a＞0，b＞0)． ?a2＋b2＝6， ?依题设有?254 解得??a2＝5，?a2－b2＝1， ??b2＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x25－y2 ＝1． 法二：∵焦点在x轴上，c＝6， x2y2 ∴设所求双曲线方程为λ－6－λ ＝1(其中0＜λ＜6)． - 1 - ∵双曲线经过点(－5,2)， 254∴λ－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． 6－λx22 ∴所求双曲线的标准方程是5－y＝1． 11．(多选题)已知双曲线8kx2－ky2＝8的焦距为6，则k的值为( ) A．1 C．－1 2 2 B．2 D．－2 x2y2 AC [由8kx－ky＝8得1－8＝1，因为焦距为6，所以c＝3． kk1892 若焦点在x轴上，则k＋k＝k＝c＝9，∴k＝1． y2x2 若焦点在y轴上，故方程可化为8－1＝1，k＜0 －k－k∴ 1 －k＝9，∴k＝－1．] －k 2 8 y2 12．设F1，F2是双曲线x－24＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( ) A．42 B．83 C．24 D．48 ???|PF1|－|PF2|＝2，?|PF1|＝8，C [由?可解得? ???3|PF1|＝4|PF2|，?|PF2|＝6.又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形， 1 则S△PF1F2＝2|PF1|·|PF2|＝24．] y2x2x22 13．(一题两空)椭圆49＋24＝1与双曲线y－24＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为 ，P与双曲线两焦点连线构成三角形面积 - 1 -
2020_2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程课时分层作业含解析
