解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠B=∠D=90°， ∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处， ∴AB=AE，∠B=∠E， ∴AE=CD，∠D=∠E， 在△AOE和△COD中， ， ∴△AOE≌△COD（AAS）； （2）解：∵△AOE≌△COD， ∴AO=CO， ∵∠OCD=30°，AB=， ∴CO=CD÷cos30°=÷=2， =． ∴△AOC的面积=AO?CD=×2×点评： 本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 23．（9分）（2014?长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 分析： （1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可； （2）设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额建立不等式求出其解即可． 解答： 解：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得 200x+300（400﹣x）=90000， 解得：x=300， ∴购买乙种树苗400﹣300=100棵， 答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵； （2）设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得 200a≥300（400﹣a）， 解得：a≥240． 答：至少应购买甲种树苗240棵． 点评： 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键． 24．（9分）（2014?长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
考点： 切线的性质． 分析： （1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC； （2）利用△ADE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可． 解答： （1）证明：连接OD， ∵D是BC的中点，OA=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AC； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°， ∴∠ADE=∠DCE 在△ADE和△CDE中， ∴△CDE∽△ADE， ∴， 设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a， ∴解得：x=∴tan∠ACB=，整理得：x﹣3x+1=0， ， ． 2 点评： 本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值． 六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 25．（10分）（2014?长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． （1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
2
（3）若二次函数y=ax+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b﹣2b+
2
，试求出t的取值范围．
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可； 222（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax+bx+1，得到ax1+（b﹣1）x1+1=0，ax2+（b2﹣1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1?x2=，则（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣222224x1?x2==4，整理得出b﹣2b=（2a+1）﹣2，则t=b﹣2b+=（2a+1）+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1?x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围． 解答： 解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”， ∴m=2， ∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上， ∴n=2×2=4， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x）， 则有x=3kx+s﹣1， 整理，得（3k﹣1）x=1﹣s， 当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=； 当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解； 当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解； 综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”； （3）∵二次函数y=ax+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2）， 22∴x1=ax1+bx1+1，x2=ax2+bx2+1， 22∴ax1+（b﹣1）x1+1=0，ax2+（b﹣1）x2+1=0， 2∴x1，x2是一元二次方程ax+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根， ∴x1+x2=22，）；当k=，s=1时，“梦之点”有，x1?x2=， 22∴（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4x1?x2=（∴b﹣2b=4a+4a﹣1=（2a+1）﹣2， ∴t=b﹣2b+2222）﹣4?==4， =（2a+1）﹣2+2=（2a+1）+2． ∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2， ∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4， ∴﹣4＜x2＜4， ∴﹣8＜x1?x2＜8， ∴﹣8＜＜8， ∵a＞0， ∴a＞ ∴（2a+1）+∴t＞． 2＞+=， 点评： 本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，形如ax=b的方程的解的情况，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等知识，综合性较强，有一定难度． 26．（10分）（2014?长沙）如图，抛物线y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（
，
）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，
2
2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可； （2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x比较得出答案即可； （3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可． 2解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点， 22∴抛物线的一般式为：y=ax， ∴=a（）， 2解得：a=±， ∵图象开口向上，∴a=， ∴抛物线解析式为：y=x， 故a=，b=c=0； 2
2014年湖南省长沙市中考数学试卷解析版
