黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三数学第一次模拟考试试题 文
→ →? →? →? →? → ?
5.已知平面向量 a, b 的夹角为 ，且| a |? 2,| b |? 1 ，则| a ? 2 b |? （ ）
3
姓名
班级 纸、试 装
订
线
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，
考试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔
书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿
题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
一．选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? ?1,2,3,4,5?， B ? ?0,2,4,6?，则集合 A ? B 的子集共有（ ） A. 2 个 B.4 个
C.6 个 D.8 个
2.已知复数 z 满足 ( z ? i)(1 ? i) ? 3 ? 3i ，则| z |? （ ） A.2 B. 3
C.4 D. 2
x 3.设函数 f ( ?xx2 ) ?? 2
, x ? 0 ? , 则 f (5) 的值为（ ）
? f ( x ? 3), x ? 0 A. ? 7 B. ?1 C.0
D. 1
2
4.双曲线
C : x 2
y2
1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的倾
a 2 ? b2 ?
斜角为130?
,则 C 的离心率为( )
A．
2 sin 40? B． 2 cos 40? C． 1 D． 1 sin 50?
cos50?
1
A.4 B.2 C.1 D.
6
6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍， 逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示， 若最终输出的 x ? 0 ，则一开始输入的
x 的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 15 31 16 D. 32
4 8
7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
m2 ? m1 5 lg E 1，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek (k ? 1,2) 。已知太阳的星等是-26.7，天?
2 E2 狼 星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C. lg10.1 D.10?10.1
8.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对 兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依 次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是
an ? an?1 ? an?2 (n ? 3, ??) ,其中 a1 ? 1, a2 ? 1, 若从该数列的前 100 项中随机的抽取一个n ? N 数，
则这个数是偶数的概率为（ ）
A. 1 B. 33 100 C. 1 2 D. 67 100 3
9.已知函数 f ( x) ? A sin(x ?? ) ? b( A ? 0) 的最大值、最小值分别为 3 和-1，关于函数 f ( x) 有
3
如下四个结论： （1） A ? 2, b ? 1 ；
（2）函数 f ( x) 的图像关于直线
x ? ? 5? 对称；
6
（3）函数 f ( x) 的图像关于点? 2 ?? ,0???
对称；
1
? 3 ?
2
? 5? ?
（4）函数 f ( x) 在区间 ??, ? 内是减函数。 ?
6 ? ? 6
三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17——
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要
其中，正确的结论个数是（ ）个。
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
10.设 A, B, C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，?ABC 为等边三角形且面积为 9 3 ,则三
棱锥 D ? ABC 体积的最大值为（ ）
A.12 3
B.18 3
C. 24 3
D. 54 3
11.已知 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点，过 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点（点 A 在第四象限），
→ →
若 BF ? 2 FA ,则| AB | 的值为（ ） A. 5 9
81
2 B. C. 2
4 D. 64
12.已知定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ， f ( x) ? 0 且 f (e) ? 1 ，若对任意
x ? (0,??) ， xf ?( x) ln x ? f ( x) ? 0 恒成立，1 ? 则不等式
f ( x) ln x 的解集为（ ）
A.?x | 0 ? x ? 1? B.?x | x ? 1? C.?x | x ? e?
D.?x | 0 ? x ? e?
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y ? 2 ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为 .
? y ? 1
14.已知实数 x, y 满足约束条件?? ?
x ? y ?1 ? 0 ，则 z ? 2 x ? y 取最大值时的最优解是 .
??
?x ? y ? 4 ? 0
15.在长方体 ABCD ? A B C D 1 1 1 中，1 AB ? 2BC ? 2 ，直线 DC 与平面1 ABCD 所成的角为 45? ，
则异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值为 .
求作答。
17、（本小题满分 12 分）
已知?an ?是递增的等差数列， a2 ? 3 ,且 a1 , a3 ? a1 , a8 ? a1 成等比数列 (1)求数列?a
n ?的通项公式；
(2)若b3
，求数列?bn ?的前 n 项和 S
n n 。 ?an an?1
18、（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD2 的正方形， 是边长为
PA ? PD ? 2, PB ? PC ? 6 （1）证明：平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ；
（ 2）若点 E 为线段 PA 的中点，求点 E 到平面 PBC 的距离。
装
订
线
3
4
16.在 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 ?ABC 中，角
sin B ? sin A? (sinC ? cosC) ? 0, a ? 2, 2 ，则 C ? . c ?
19.（本小题满分12分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y （单位：万
考号 件）与月销售单价 x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量 yi 和
月销售单价 xi （ i ? 1,2,3,4,5,6 ）数据进行了数据分析，得到一组检测数
据如
姓名
表所示： 月销售单价 x（元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量 y （万件） 89 83 82 79 74 67 （ 1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工 求得回归直线方程分别为：
班级 ??y
? ?4x ?105， ??y ? 4x ? 53 ，? y ? ?3x ?104 ，其中有且仅有一位实习员工的
计算结果是正确的。请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是
正确的，并说明理由；
装 （2）若用 y ? ax2 ? bx ? c 模型拟合 y 与 x 之间的关系，可得回归方程为
?
y ? ?0.375x2
? 0.875x ? 90.25 ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型
的相关指数 R2 分别为0.9702和0.9524，请用 R2
说明那个回归方程的拟合效果更 订
好；
（3）已知该商品的月销售额 z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题： 当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据
6547 ? 80.91 线
20、（本小题满分12分）
2
2
已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆
C : x y? ? 1 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为
4
3
M (1, m)(m ? 0)
21、（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) ? ln x2 ? 1 x 2 ? ax(a ? R) , 2 g ( x) ? 3
x 2 ? x （1）当 a ? ?4 时，求函数 f ( x) 的单调区间；
（2）定义：对于函数 f ( x) ，若存在 x ,使 f ( x ) 成立，则称 x 为函数 f ( x) 的不动点。 ? x
0 0 0 0
如果函数 F ( x) f ( x) ? g ( x) 存在不动点，求实数
a 的取值范围。 ?
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。 如果多做，则按所作的第一题计分。
22、（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
?x ? 2 ? 2 cos?
在直角坐标系 xOy 中，曲线C : y ?
，直线
? ? 2
sin?(?为参数)
?x ? ?
1? t cos ? l : ?? ?y
? t sin
(t为参数) ，以原点O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
(1)
求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交，交点为
A, B ，直线与 x 轴交于Q 点，求| QA | ? | QB | 的取值范围。
23、（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知对任意实数
x ，都有| x ? 2 | ? | x ? 4 | ?m ? 0 恒成立 1
(1)
求实数 m 的取值范围；
5
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三数学第一次模拟考试试题文
