2024-2024学年江西省赣州市十五县（市）高二上学期期中考
试数学（理）试题
一、单选题
1．现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查；③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.较为合理的抽样方法是（ ）
A．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样 B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样 C．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样 D．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样 【答案】B
【解析】根据三种情况所对应的样本容量与总量大小、样本差异性大小的特点即可确定抽样方法. 【详解】
①中总量和样本容量都比较小，且样本无明显差异，可采用简单随机抽样 ②中不同收入家庭的差异性较大，对统计结果有直接影响，可采用分层抽样 ③中，总量较大，抽取样本数量与排数相同，采用系统抽样较为简便 故选：B 【点睛】
本题考查统计中的抽样方法，关键是明确不同的抽样方法所适用的情况，属于基础题. 2．圆心为?1,?1?且过原点的圆的一般方程是 A．x?y?2x?2y?1?0 C．x2?y2?2x?2y?0 【答案】D
【解析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。 【详解】
根据题意，要求圆的圆心为(1,?1)，且过原点，
22B．x2?y2?2x?2y?1?0 D．x?y?2x?2y?0
22
且其半径r?12?(?1)2?22，
2 则其标准方程为(x?1)?(y?1)?2，变形可得其一般方程是x?y?2x?2y?0，故选D． 【点睛】
本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。
22rrrr3．已知向量a??cos?,sin??，b???1,2?，且a//b，则tan?的值是（ ）
A．?2 【答案】A
【解析】由向量平行可得2cos???sin?，由同角三角函数的商数关系可求得结果. 【详解】
由a//b得：2cos???sin? ?tan??故选：A 【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示、同角三角函数关系的求解；关键是明确向量平行的坐标表示为：x1y2?x2y1?0.
4．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)，B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为（ ）A．2x?y?3?0 C．2x?y?3?0或x?2 【答案】C
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线x?2显然满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k 则直线l为y?1?k?x?2?，即kx?y?1?2k?0 由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：
B．x?2 D．都不对
B．2
C．3 D．?3 rrsin???2 cos??kk?12?k?4k?12，
化简得：?k?k?4或k?k?4（无解），解得k?2
?直线l的方程为2x?y?3?0
综上，直线l的方程为2x?y?3?0或x?2
故选C
5．设?,?表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是（ ） A．若m//?，?//?，则m//? B．若m//?，m//?，则?//? C．若m??，???，则m//? D．若m??，m??，则?//? 【答案】D
【解析】结合直线与直线，平面与平面平行判定定理，即可得出答案。 【详解】
A选项，可能m在?平面内，故错误；B选项，如果m平行?与?交线，而该两平面相交，故错误；C选项，m可能在?平面内，故错误；D选项，满足平面平行判定条件，故正确，故选D。 【点睛】
本道题考查了直线与直线，平面与平面平行判定定理，属于较容易题。
6．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如表所示，y与x的回归直线方程为y?3x?1.5，则m的值为（ ）
x 0 1 m 2 3 8 y A．1 【答案】A
?1 4m B．1.5 C．2 D．2.5
【解析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案. 【详解】
5m?7 45m?7)代入回归方程 中心点为：(1.5,45m?7?4.5?1.5?m?1 4x?1.5 y?
故答案选A 【点睛】
本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力. 7．某几何体的三视图如图所示，则几何体最长棱的长度为（ ）
A．22 【答案】B
B．23 C．4
D．33 【解析】由三视图可还原几何体，确定几何体的各边长，从而可知最长棱为SA；结合垂直关系，利用勾股定理可求得结果. 【详解】
由三视图可知几何体为如下图所示的三棱锥S?ABC：
其中SD?平面ABC，且SD?AB?BD?2BC?2
?最长棱为SA，SA?AB2?BD2?SD2?4?4?4?23 故选：B 【点睛】
本题考查几何体最长棱的求解问题，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础
题.
8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，20，则输出的a?（ ）
A．0 【答案】C
B．2 C．4 D．6
【解析】按照程序框图运行程序，直到满足a?b时输出结果即可. 【详解】
按照程序运行框图，输入a?16，b?20，则a1b且a?b ?b?20?16?4 此时a?16，b?4，则a1b且a?b ?a?16?4?12 此时a?12，b?4，则a1b且a?b ?a?12?4?8 此时a?8，b?4，则a1b且a?b ?a?8?4?4 此时a?b?4，输出a?4 故选：C 【点睛】
本题考查根据程序框图计算输出结果，关键是能够准确判断输出的条件，从而确定最终输出值，属于基础题.
9．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )
A．AB//CD 成的角为60o 【答案】D
B．AB与CD相交 C．AB?CD D．AB与CD所
【解析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中AB与CD所成的角为60o． 【详解】
解：一个正方体的展开图如图所示，
A、B、C、D为原正方体的顶点，
还原成正方体如下图，
QAB//DE，??CDE是AB与CD所成角， QCD?DE?CE，??CDE?60o，
?在原来的正方体中AB与CD所成的角为60o．
故选：D． 【点睛】
本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题． 10．已知三棱锥A?BCD内接于球O，AB?平面BCD，?BCD为直角，
AB?BD?2，则球O的表面积为（ ）
A．32? 【答案】C
【解析】将三棱锥补全为长方体，则所求的球即为长方体的外接球；由长方体外接球半径为体对角线长的一半可知R?式即可求得结果. 【详解】
B．16?
C．8?
D．4?
1AD，利用勾股定理求得半径后，代入球的表面积公2
将三棱锥补全为如下图所示的长方体，则球O为长方体的外接球
Q长方体的外接球半径R?11AD?AB2?BD2?2 22?球O的表面积S?4?R2?8?
故选：C 【点睛】
本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够通过将三棱锥补为长方体的方式，将问题转化为长方体外接球的求解问题，同时明确长方体外接球的半径为其体对角线长度的一半.
11．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x?a)2?(y?b)2可以转化为平面上点M?x,y?与点N?a,b?的距离.结合上述观点，可得
f?x??x2?4x?20?x2?2x?10的最小值为( )
A．32 【答案】C
【解析】化简得f?x??(x?2)2?(0?4)2?(x?1)2?(0?3)2，表示平面上点B．42 C．52 D．72 M?x,0?与点N??2,4?，H??1,?3?的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结
论． 【详解】
f?x??x2?4x?20?x2?2x?10 ?(x?2)2?(0?4)2?(x?1)2?(0?3)2，
表示平面上点M?x,0?与点N??2,4?，H??1,?3?的距离和， 连接NH，与x轴交于M?x,0?，
由题得kMN?kMH,?所以M??0?44?310?,?x??， x?2?2?17?10?,0?， 7???f?x?的最小值为(?2?1)2?(4?3)2?52，
故选C． 【点睛】
本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．
12．过坐标原点O作圆?x?3???y?4??1的两条切线，切点为A,B，直线AB被圆截得弦AB的长度为( )
22A．
46 5B．
26 536 5C．6 【答案】A
D．
【解析】求得圆的圆心坐标和半径，借助S?AOM?即可求解. 【详解】
AB11，?OA?MA??OM?222如图所示，设圆?x?3???y?4??1的圆心坐标为M(3,4)，半径为r?1， 则OM?32?42?5,OA?52?1?则S?AOM?故选A.
2224?26，
2?OA?MA46AB11AB??，可得， ?OA?MA??OM?OM5222
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题
??13．水平放置的?ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC?3，B?C??2，则AB边
上的中线的实际长度为______．
【答案】
5 2【解析】利用斜二测直观图的画图规则，可得?ABC为一个直角三角形，且
5AC?3,BC?4，得AB?5，从而得到AB边上的中线的实际长度为.
2【详解】
利用斜二测直观图的画图规则，平行于x轴或在x轴上的线段，长度保持不变； 平行于y轴或在y轴上的线段，长度减半，
利用逆向原则，所以?ABC为一个直角三角形，且AC?3,BC?4，
所以AB?5，所以AB边上的中线的实际长度为【点睛】
5. 2本题考查斜二测画法的规则，考查基本识图、作图能力.
?x?y?????14．已知实数x，y满足约束条件?x?，则cos(x?y)的取值范围为______.
6???y?0?3??1,【答案】??
2??【解析】由约束条件可求得x?y的范围，根据余弦函数的单调性可求得所求范围. 【详解】 由约束条件可知：
?6?x?y??
???3?Qy?cosx在?,??cosx?y??1,???上单调递减 ? ?2?6?????3?故答案为：??1,?
2??【点睛】
本题考查余弦函数值域的求解问题，关键是能够利用不等式的性质求得角所处的范围，进而结合余弦函数的单调性求得结果.
15．下列四种说法中正确的有______.（填序号）①数据2，2，3，3，4，6，7，3的众数与中位数相等；②数据1，3，5，7，9的方差是数据2，6，10，14，18的方差的一半；③一组数据的方差大小反映该组数据的波动性，若方差越大，则波动性越大，方差越小，则波动性越小.④频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数. 【答案】①③
【解析】由众数和中位数概念可知①正确；由方差的性质可知②错误，③正确；由频率分布直方图的特点可知④错误. 【详解】
①中，数据的众数为3，中位数为3，故①正确；
②中，第二组数据2,6,10,14,18为第一组数据对应数字的2倍，则方差应为第一组数据方差的4倍，即第一组数据的方差为第二组数据方差的
1，故②错误； 4③中，方差用来描述数据的稳定性，方差越小数据越稳定，③正确；
④中，频率分布直方图中各小长方形的面积对应各组数据的频率，而非频数，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】
本题考查统计中的基础命题的辨析，涉及到众数与中位数、方差的性质、频率分布直方
图的特点等知识，属于基础题.
16．已知圆O为坐标原点，点A的坐标为(4,2)，点P为线段OA垂直平分线上的一点，若?OPA为钝角，则点P横坐标的取值范围是______. 【答案】(1,2)U(2,3)
【解析】利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程，设
uuuruuurP?x,5?2x?，由?OPA为钝角可知OP?AP?0，由此构造不等式求得x的范围；当
O,P,A三点共线时不合题意，需舍去，从而得到最终结果.
【详解】
设OA垂直平分线斜率为k，则k?kOA??1，即
1k??1 ?k??2 2y?1??2?x?2?，又OA中点为?2,1? ?OA垂直平分线方程为：即2x?y?5?0 uuuruuurQ?OPA为钝角 ?OP?AP?0
uuuruuurPx,5?2x设?? ?OP??x,5?2x?，AP??x?4,3?2x?
uuuruuur?OP?AP?x?x?4???5?2x??3?2x??5x2?20x?15?0，解得：1?x?3
又当x?2时，O,P,A三点共线，此时?OPA??，不合题意 ?x??1,2?U?2,3? 故答案为：?1,2???2,3? 【点睛】
本题考查直线方程的综合应用、平面向量夹角的运算求解问题；关键是能够通过垂直且平分的关系求得直线方程，同时利用角为钝角确定向量数量积所处的范围；易错点是忽略向量数量积小于零时，夹角有可能为平角的情况，造成增根出现.
三、解答题
17．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现.某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了200名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表: 组别 满意度评分 频数 一 二 三 四 五 ?0,2? 12 ?2,4? 28 ?4,6? 68 ?6,8? a ?8,10? 40
频率
0.06 b 0.34 c 0.2 （1）求表格中的a，b，c的值； （2）估计用户的满意度评分的平均数；
（3）若从这200名用户中随机抽取50人，估计满意度评分高于6分的人数为多少？ 【答案】（1）a?52，b?0.14，c?0.26；（2）5.8；（3）23人.
【解析】（1）根据总体容量可计算得到a，利用频数除以总体容量即可求得b,c； （2）利用区间中点值代替每组数据，与频率作积，加和可得平均数； （3）根据表格得到评分高于6分的频率，利用50乘以频率即可得到结果. 【详解】
（1）Q总体容量为200 ?a?200??12?28?68?40??52
?b?2852?0.14，c??0.26 200200（2）估计平均数为：1?0.06?3?0.14?5?0.34?7?0.26?9?0.2?5.8 （3）Q满意度评分高于6分的频率为0.26?0.2?0.46
?抽取50人，估计满意度评分高于6分的人数为：50?0.46?23人
【点睛】
本题考查统计中的频数与频率的计算、利用样本估计总体的问题；利用样本估计平均数的基本方法是用每组数据区间的中点值代替本组数据，将中点值与对应频率作积，加和即可得到平均数.
18．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AC?CB?1，AB?别是AB、BB的中点.
2，D、E分
（1）证明：CD?A1E； （2）求三棱锥D?ACE的体积. 1
【答案】（1）证明见解析；（2）
1. 8【解析】（1）由直三棱柱特点和等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理可证得
CD?平面A1AB，由线面垂直的性质可证得结论；
（2）由体积桥的方式可知VD?A1CE?VC?A1DE，利用三棱锥体积公式即可求得结果. 【详解】
（1）Q三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱 ?AA1?平面ABC 又CD?平面ABC ?AA1?CD
QAC?BC，D为AB中点 ?AB?CD
QAA1,AB?平面A1AB，AA1IAB?A \\CD^平面A1AB
QA1E?平面A1AB ?CD?A1E
（2）由（1）知：CD为点C到平面A1DE的距离
12121211232 ，CD?1??QS?A1DE?2??1???????1?2222222228113221?VD?A1CE?VC?A1DE?S?A1DE?CD????
33828【点睛】
本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解；在证明线线垂直时，需首先证明线面垂直关系，利用线面垂直得到线线垂直；求解三棱锥体积的常用方法为体积桥的方式，将问题转化为高易求的三棱锥的体积的求解问题.
19．设数列?an?的前n项和为Sn?n2?n，?bn?为等比数列，且a1?2b1，
b2?a4?a3??b1.
（1）求数列?an?和?bn?的通项公式；
（2）设cn?(2)n?log2bn，求数列?cn?的前n项和Tn.
a?1?【答案】（1）an?2n?n?N?，bn????2?*n?1（2）T?n?N?；
*n?2n?1?n(n?1)?2. 2?S1,n?1【解析】（1）利用an??可求得an；通过a1?2b1?2和b2?a4?a3??b1S?S,n?2n?1?n求得b1和q，由等比数列通项公式求得bn；
n（2）由（1）可得：cn??2?1?n；利用分组求和的方式，结合等比数列求和公式和
等差数列求和公式求得结果. 【详解】
（1）当n?1时，a1?S1?2
当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?n??n?1??n?1?2n 验证a1?2?1?2与a1?2相符合 故数列?an?的通项公式为：an?2nn?N2?*?
1 2由a1?2b1?2得：b1?1；由b2?a4?a3??b1得：2q?1 ∴q??1?∴bn????2?n?1?n?N?
*（2）由（1）得：cn??2?n2n?1??log2???2?n?1?2n?1?n
21?2n1?2?Tn?2?2?2?????2?n??1?2?3?????n??23?????n?n?1?n?2?2n?1?2?n?【点睛】
n?1?n?2?2n?1?n?n?1?2?2
本题考查等差和等比数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n项和，涉及到等差和等比数列前n项和公式的应用，属于常考题型. 20．已知函数f(x)?2sinxcosx?3(2cos2x?1)．
B、C的对边分别为a、b，c，（1）若△ABC的三个内角A、锐角A满足f(求锐角A的大小.
（2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 【答案】（1）A?A??)?3，26π33；（2）。 34??π??，代入3?【解析】（1）将f?x?化简为f?x??2sin?2x??A??f????3求得A；?26?（2）根据正弦定理求得a，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值. 【详解】
（1）f?x??sin2x?3cos2x?2sin?2x???π?? 3???A?????A??Qf????2sin?2??????2sinA?3，又A为锐角
?26???26?3?A??3
（2）Q?ABC的外接圆半径为11 由正弦定理得：
a?2R?2 sinA?a?2sinA?2sin2?32?2?23?3 2由余弦定理：a?b?c?2bccosπ 3得：3?b2?c2?bc?2bc?bc?bc 即bc?3（当且仅当b?c时取等号） 则三角形的面积S?11333（当且仅当b?c时取等号） bcsinA??3??2224故三角形面积最大值为【点睛】
33 4本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果.
21．如图，在三棱锥D?ABC中，已知?BCD是正三角形，平面BCD?平面ABC，
AB?BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF?3FC.
（1）求证：AC?平面DEF；
（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN//平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，CN?3CA. 8【解析】（1）取AC中点H，由三角形中位线和已知长度关系可知EH?EC且F为
CH中点，三线合一得到EF?AC；由面面垂直性质可得DE?平面ABC，由线面
垂直性质知DE?AC；由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）假设存在满足题意的点N，由线面平行的性质可知MN//FO；根据重心的性质可得到比例关系CF?【详解】
（1）取AC中点H，连接EH
32CN，即CN?AC，从而可说明存在点N. 38
QE,H分别为BC,AC中点 ?EH?又EC?1AB 21BC，AB?BC ?EH?EC 211QAF?3FC ?FC?AC?CH，即F为CH中点 ?EF?AC
42Q?BCD为等边三角形，E为BC中点 ?DE?BC
Q平面ABC?平面BCD，平面ABCI平面BCD?BC ?DE?平面ABC
QAC?平面ABC ?DE?AC
QDE,EF?平面DEF，DEIEF?E ?AC?平面DEF
（2）假设AC上存在点N，使得MN//平面DEF 连接CM，交DE于点O，连接FO
QMN//平面DEF，MN?平面CMN，平面CMNI平面DEF?FO ?MN//FO
2QCM,DE为等边?BCD的两条中线 ?O为?BCD的重心 ?CO?CM
32123?CF?CN，即AC?CN ?CN?AC
34383?存在点N，满足CN?AC时，MN//平面DEF
8【点睛】
本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、存在性问题的求解，涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理、线面平行的性质定理的应用；解决本题中的线面平行的存在性问题的关键是能够假定存在后，利用线面平行的性质确定平面内与所证直线平行的直线，进而确定比例关系.
22．已知圆C与圆D:x2?y2?4x?4y?6?0关于直线l:x?y?2?0对称. （1）求圆C的方程；
（2）过点Q(?1,?1)作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线l是否垂直？请说明理由. 【答案】（1）x?y?2；（2）垂直，理由见解析.
【解析】（1）由圆D方程可得到圆心和半径；利用点关于直线对称点的求法可求得圆心D关于直线l的对称点C的坐标，从而得到圆C的圆心C，又圆C半径与圆D，从而可得圆C的方程；
（2）设QA斜率为k，QB斜率为?k，将直线QA与圆C方程联立，结合Q在圆上可求得xA，用?k替换k可得xB；利用两点连线斜率公式求得kAB?1，从而得到
22kl?kAB??1，可知两直线垂直.
【详解】
22（1）由x?y?4x?4y?6?0得：?x?2???y?2??2
22?圆D的圆心D?2,2?，半径r?2 ?b?2?1??a?0?a?2Ca,b 设圆C的圆心?，解得：??，则?a?2b?2b?0????2?0?2?2?圆C的圆心为?0,0?，半径为2 ?圆C的方程为：x2?y2?2
（2）直线AB与直线l垂直，理由如下：
由题意可知：直线QA,QB斜率都存在 设直线QA斜率为k，则直线QB斜率为?k
?直线QA方程为：y?1?k?x?1?，即y?kx?k?1
?y?kx?k?12221?kx?2kk?1x?k?2k?1?0 由?2得：??2?x?y?2??k2?2k?1?k2?2k?1QQ??1,?1?在圆C上 ???1?xA? ?xA? 221?k1?k?k2?2k?1 同理可得：xB?1?k2?kAB?yB?yA?k?xB?1??1?k?xA?1??1?k?xB?xA??2k??xB?xAxB?xAxB?xA?2k2?2?k??2k22k3?2k?2k?2k31?k???1
?4k?4k1?k2又kl??1 ?kl?kAB??1 ?直线AB与直线l垂直 【点睛】
本题考查圆关于直线对称圆的方程的求解、两直线位置关系的求解问题；求解圆关于直线对称的圆的方程时，只需利用点关于直线对称点的求法求解出圆心关于直线对称的点，即为对称圆的圆心，半径不变.
2024-2024学年江西省赣州市十五县（市）高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）
