116k32OA?(yP?yQ)?2??≤82，……14分2121?2k2k?k12当且仅当2k?，即k?时，取“?”．k2所以△PAQ的面积的最大值为82．…………………………………………16分所以△PAQ的面积S?19．已知函数f(x)?clnx，c?R．（1）当c?e时，求曲线y?f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；（2）当c?2时，求函数g(x)?f(x)?x?2?2ln2的零点个数；x2（3）当c?1时，试探究：是否存在常数p，q使得?p?qx≥0和p?qx?f(x)≥02e对任意的x?0恒成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由．e
19．（1）当c?e时，f(x)?elnx，则f'(x)?，所以f'(e)?1，又f(e)?e，x所以曲线y?f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y?x．……………………2分2（2）当c?2时，g(x)?2lnx?x?2?2ln2，则g'(x)??1．x令g'(x)?0，得x?2，列表如下：(0,2)(2,??)x2g'(x)0??g(x)极大值↗↘所以函数g(x)的最大值为g(2)?0，所以g(x)有且只有一个零点2．…………………………………………………6分（3）当c?1时，p?qx?f(x)≥0即p?qx?lnx≥0．x2假设存在常数p，q使得?p?qx≥0和p?qx?lnx≥0恒成立，2ex2
即lnx≤p?qx≤恒成立．2e11x21而当x?e时，lnx??，所以≤p?qe≤，222e211所以p?qe?，则p??qe，22x2x21所以?p?qx??qx?qe?≥0恒成立，2e2e2211121则q2?(qe?)≤0，即(q?，则p??．)≤0，所以q?
e22ee令?(x)?
1ex?
x?e1
，令?'(x)?0，得x?e，?lnx，则?'(x)?2ex当0?x?e时，?'(x)?0，?(x)在(0,e)上单调减；当x?e时，?'(x)?0，?(x)在(e,??)上单调增．所以?(x)的最小值?(e)?0．111
x??f(x)≥0恒成立．?lnx≥0恒成立，即c?1时，22ee11所以存在p??，q?符合题意．…………………………………………16分2e则1x?
20．（本小题满分16分）已知数列{an}和{bn}满足a1?1，且an?1bn?anbn?3an?9，n?N*．（1）当an?2n?1时，求数列{bn}的通项公式；（2）若bn?3n?1，求证：数列{an}是等差数列；（3）若b1?2，bn?1an?anbn?3bn?9，求证：an?17．3an?93?2n?1?9920．（1）当an?2时，bn?，?n?3?an?1?an2?2n?12n?19所以{bn}的通项公式为bn?3?n?1．…………………………………………2分2（2）因为bn?3n?1，所以(3n?1)an?1?(3n?2)an?9，则(3n?2)an?2?(3n?5)an?1?9，两式相减，得(3n?2)an?2?(6n?4)an?1?(3n?2)an，所以an?2?2an?1?an，即an?2?an?1?an?1?an，………………………………6分ab?3a1?9又当n?1时，a2?11?7，所以an?1?an?a2?a1?6，b1
所以{an}是以1为首项，6为公差的等差数列．………………………………8分n?1anbn?3an?9?a?,n?1?ab?ab?3a?9,b?n?1n?nnnn
（3）因为?所以??bn?1an?anbn?3bn?9,?b?anbn?3bn?9,n?1?an?又a1?1?0，b1?2?0，所以an?0，bn?0，………………………………10分(an?3)(bn?3)bn??1a?3?,??n?1?a?3(a?3)(b?3),bn??n?1nn
所以?则?an
?b?3?(an?3)(bn?3),?1?,n?1??ab?3(a?3)(b?3)nnn??n?1
bnan11所以???an?1?3bn?1?3(an?3)(bn?3)(an?3)(bn?3)(b?3)?(an?3)?n(an?3)(bn?3)?
11
?，an?3bn?311111
，……………………………………14分????
an?3bn?3a1?3b1?32011
?，解得an?17，所以an?320故an?17．………………………………………………………………………16分所以江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(九)
数学Ⅱ(附加题)
注
意
事
项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。中国数学教育网5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。ht21．[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4?2：矩阵与变换]（本小题满分10分）?1a??2?已知矩阵A??的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为????1?．?1b?????x??a?若A?????，求x，y的值．?y??b??1a??2??2??2?a??4?由条件知，A??2?，即?，即?2??1??1???2?b???2?，?1b???????????2?a?4,?a?2,所以?解得???2?b?2,?b?4.?12?所以A???．…………………………………………………………………5分?14???x??12??x??x?2y??2?则A??????y????x?4y???4?，y?14???????????x?2y?2,?x?0,所以?解得???x?4y?4,?y?1.所以x，y的值分别为0，1．……………………………………………………10分B．[选修4?4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线π?x?1?3cost,l:2?sin(??)?m(m?R)，圆C的参数方程为?（t为参数），当圆4?y??2?3sint心C到直线l的距离为2时，求m的值．直线l的直角坐标方程为x?y?m?0，圆C的普通方程为(x?1)2?(y?2)2?9，…………………………………………5分圆心C到直线l的距离|1?(?2)?m|?2，解得m??1或m??5．…………10分2C．[选修4?5：不等式选讲]（本小题满分10分）111???27abc的最小值为m．a3b3c3解关于x的不等式x?1?2x?m．因为，，，所以bc?0a
311111133??27abc???27abc≥3???27abc≥2?27abc?18，abca3b3c3a3b3c3abc1当且仅当a?b?c?3时，取“?”，3所以m?18．…………………………………………………………………………6分所以不等式x?1?2x?m即x?1?2x?18，已知a，b，c为正实数，所以?2x?18?x?1?2x?18，解得x??所以原不等式的解集为(?
19
,??)．………………………………………………10分319，3
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）江苏高考理科数学的第21题为选做题，包含A，B，C，D四道小题，考生需从这四题中选做两题．现有甲，乙，丙，丁四位考生，每人独立地选做两题，其中甲必选B题，乙，丙和丁从这四题中随机选做两题．（1）求甲选做D题且乙、丙都未选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被这四人选做的次数，求X的概率分布和数学期望E(X)．22．（1）设“甲选做D题且乙，丙都未选做D题”为事件E．2C3C1111
甲选做D题的概率为1?，乙，丙未选做D题的概率都是2?．C33C42
江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题（九） - 图文
