第23讲 假设检验习题课
教学目的：通过本讲的学习进一步理解假设检验的基本概念，熟练掌握一个正态总体
及两个正态总体参数的假设检验。
教学重点：假设检验基本方法的总结。
教学难点：非正态总体大样本参数的假设检验。 教学时数：1学时。 教学过程：
一、知识要点回顾
1. 假设检验的原理
小概率事件在一次试验中几乎不会发生。 2. 假设检验的方法
置信区间的方法。 3. 假设检验的步骤：
（1）根据要检验的问题提出检验假设，包括原假设H0与备择假设H1。 （2）根据已知条件选一个统计量，要求在H0成立时，该统计量分布已知。 （3）根据显著性水平?，查所选统计量的分布临界值表，确定H0的拒绝域。 （4）根据样本观测值计算统计量，并与临界值比较。
（5）下结论：如果计算的统计量在H0的拒绝域内，则拒绝H0，接受H1；如果计算的统计量不在H0的拒绝域内，则接受H0，拒绝 H1。 4. 假设检验易犯的两类错误及其关系
(1)两类错误：“弃真”错误（第一类错误，犯这类错误的概率不超过显著性水平?）及“存伪”错误（第二类错误，犯这类错误的概率通常记作?）。
(2)两类错误的关系：在样本容量n一定时，减小?，则?增大；减小?，则?增大。要想让二者都减小，只能增大样本容量n。
5．一个正态总体及两个正态总体参数的假设检验的方法
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原假设H0 已知条件及检验法 备择假设所用统计量及其分布 H1 H0的拒绝域 ?已知 U?检验2???0 U?X??0~N(0,1) U?u? 2?0n???0 ???0 ???0 U??u? U?u? 法 ???0 ?未知 t?检验法 t?X??0Sn~t(n?1) 2t?t?(n?1) 2???0 ???0 t??t?(n?1) t?t?(n?1) ?已知 ??22??1??(n)或22 ?2?1n2?(Xi??0)22??20 ?0?i?12???22???(n) 22?检~?(n) ?2??0 ??202??1??(n) 22验法 ?2??20?2 ???(n) 22 ?未知 ??22??1??(n?1)或2 ?2??20 ?2?(n?1)S2?~?(n?1) 22???(n?1) 22?检?02?2??0 ??202?2??1??(n?1) 22验法 ?2y2 ????(n?1) 2?x，?2已知 ?x??yU?检验U?X?Y?x??y 2yU?u? 2~N(0,1) ?2xnx???x??y U??u? U?u? t? t?(nx?ny?2). 2ny 2x法 ?，?2y?x??y ?x??y T? 未知，但 ?x??y t??t?(nx?ny?2). 2
?2x??y S?2X?Y1nx?1ny~t(nx?ny?2) T?检验法 ?x??y 22t?t?(nx?ny?2). S??(nx?1)Sx?(ny?1)Synx?ny?2 ?x,?y nx?F?i?1nyj?1(Xi??x)??y)2F?F1??(nx，ny)或nx? 2x?? F?F?(nx，ny) 22y2已知 F?检验?(Y2jny?~F(nx，ny) 2x??y 2F?F1??(nx，ny) F?F?(nx，ny) 法 ?2x??y 2?2x??2y ?x,?yF?F1??(nx?1,ny?1)2?F?SxS22y2x??y 22或F?F?(nx?1,ny?1) F?F1??(nx?1,ny?1)未知 F?检验 ~F(nx?1,ny?1) ?2x??y 2法 ?2x??y 2F?F?(nx?1,ny?1) 二 、典型例题解析
1. 机器包装食盐，每袋净重量X（单位：g）服从正态分布，规定每袋净重量为500（g），标准差不能超过10（g）。某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：
497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平??0.05检验这天包装机工作是否正常？
解 检验包装机工作是否正常，就是要检验是否均值为?0?500，方差小于
?0?10。
22（1） 设H0：??500； H1：??500
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由于?2未知，选统计量
t?X??0Sn~t(n?1)
对显著性水平??0.05，查表得t(n?1)?t0.025(8)?2.31。由样本值计算得x?499，
?2s2?257，s?16.03
499?50016.033?0.187?2.31?t?(n?1)
2 t?接受H0，认为每袋平均重量为500(g)。
（2）设H0：?2?102； H1：?2?102 由于?未知，选统计量
?2?(n?1)S2?20~?(n?1)
2对显著性水平??0.05，查表得??2(n?1)??02.05(8)?15.5，
?2?8?257100?20.56?15.5???(n?1)
2拒绝H0，接受H1，认为标准差大于10。
综上，尽管包装机没有系统误差，但是工作不够稳定，因此这天包装机工作不正常。
2. 在漂白工艺中，温度会对针织品的断裂强力有影响。假定断裂强力服从正态分布，在两种不同温度下，分别进行了8次试验，测得断裂强力的数据如下（单位：kg）：
700C： 20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2 80C： 17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.2 19.1 判断这两种温度下的断裂强力有无明显差异？（取显著性水平??0.05）
解 设700C下的断裂强力为X，X~N(?x,?x2)，
02)。 80C下的断裂强力为Y，Y~N(?y,?y0
判断这两种温度下的断裂强力有无明显差异，就是检验是否有?x??y，这里?x2与
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?y未知，要作?x??y检验，需有?22x??2y，为此先做?x2??y2的检验。
（1）设H0：?x2??y2； H1：?x2??y2 由于?x与?y未知，选统计量
F?SxS?22y~F(nx?1,ny?1)
对显著性水平??0.05，查表得F(nx?1,ny?1)?F0.025(7,7)?4.99，
2F1??(nx?1,ny?1)?F0.975(7,7)?21F0.025(7,7)?14.99?0.20
由样本值计算得
x?20.4，sx?0.885722，sx?0.9411，y?19.4，sy?0.8286，sy?0.9103
F?0.88570,8286?1.07，F0.975(7,7)?0.20?F?4.99?F0.025(7,7)
接受H0，认为?x2??y2。
（2）设H0：?x??y； H1：?x??y 由于?x2与?y2未知，选统计量
T?X?Y(nx?1)S2x?(ny?1)S2y~t(nx?ny?2)
1nx?1nynx?ny?2?对显著性水平??0.05，查表得t(nx?ny?2)?t0.025(14)?2.14，
2 T?20.4?19.47?0.8857?7?0.82861418?18?80.8857?0.8286?2.16
T?2.16?2.14? t0.025(14)
拒绝H0，接受H1，这两种温度下的断裂强力有明显差异。
注 本题中T与临界值t(nx?ny?2)很接近，非常容易做出错误判断。在实际中，
?2如果遇到这种情况，可以再作一次抽样，重新检验。
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第23讲 假设检验习题课
