例谈高中数学中的变式教学 ——以一道高考题为例
☉浙江省宁波市北仑区柴桥中学 郑桂芬 【期刊名称】中学数学 【年(卷),期】2017(000)003 【总页数】3
新课程改革以来，变式教学或多或少、有意识或无意识地存在，变式教学为何如此受青睐，因为它可以使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，深刻领悟数学思想方法，变式教学的确是深刻理解和掌握知识的有效手段.笔者结合平时的教学实践，从一道高考题开始，谈谈变式教学在高中数学中的运用，不当之处，敬请指正.
一、题目及解答
1.题目
已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数. （1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈［1，+∞），使得f（x0）＜a（-+3x0）成立.试比较ea-1与ae-1的大小，并证明你的结论. 2.解答及变式设计
（1）这是2014年的高考试题.第一小题为基础题，难度最低，基础较差的考生不要放弃，相信自己能解答好本小题.利用偶函数的定义进行判断，只要证明
f（x）满足f（-x）=f（x）即可.
本小题这样考查了偶函数的定义，属于容易题，命题者命制此小题是为了增强基础较差的考生考试的信心，体现命题者的人文关怀.此外本小题易错点是没有考虑函数定义域关于原点对称，定义域关于原点对称是讨论奇偶性的必要条件. 变式：已知函数f（x）=ex-e-x，其中e是自然对数的底数.证明：f（x）是R上的奇函数.
（2）此小题为基础中等的考生命制，难度增加，基础中等的考生通过努力思考，也能顺利解答本题.
要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，只需使m（ex+e-x-1）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分离参数得m≤只满足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤gmin（x），这样将原问题转化求函数g（x）的最小值.
解法1：由于关于ex比较复杂，可令t=ex，由于x∈（0，+∞），则t＞1.所以2，所以g（x）时，即t=2，即x=ln2时，等号成立.所以m的取值范围是 本小题考查分离参数法、等价转化的思想，将恒成立问题转化求函数的最大值的问题.本题易错点是作代换t=ex后，没有考虑t的范围是t＞1.本考试思维受阻的地方是考生不会将，从而求不出最大值.因此为了避免出现错误，作代换后首先要考虑代换后字母的范围.
变式当x∈［-2，1］时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则求实数a的范围.（2014年高考辽宁理科卷）
解法2：考虑不等式两边同乘ex，则不等式转化为m［（ex）2+1］≤1+（m-1）ex在（0，+∞）上恒成立，令ex=t（t＞1），则问题可简化为：mt2+
（1-m）t+m-1≤0在t∈（1，+∞）上恒成立.构造函数g（t）=mt2+（1-m）t+m-1，由图像易得当m≥0时不符合题意. 当m＜0时，
综上可知，实数m的取值范围为
解法2就是将所求的问题转化为二次函数在特定区间恒小于零的问题.考查了数形结合的思想.考生能顺利地解答出第一、二小题，将会增强他们解第三小题的信心，他们就能乘胜追击，一鼓作气进行解决第三小题.
（3）破解第三小题，将其分解成两个子问题，然后各个击破，将压轴题转化常见的问题，使压轴题不再可怕.本小题是为优秀的考生命制，难度大，可将本小题分解为两个小问题：①即先求出参数a的范围，②根据参数a的范围比较ea-1与ae-1的大小.
先看问题①：命题者设置“已知正数a满足：存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x0）成立”这个条件的目的就是希望考生根据该条件先求出该参数a的范围.该小题属存在性问题（即能成立问题），根据结论“?x∈D使得（fx）＜g（x）”的条件是“在区间D内，（fx）的最小值小于g（x）的最大值”，这样将原问题转化为求函数（fx）0在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx）0与函数h（x0）=a（-+3x）0在x0∈［1，+∞）上的最大值hma（xx0）.这样就可以求出参数a的范围.
解法1：因为f′（x0）=ex0 -e-x0，由于x0∈［1，+∞），所以f（′x0）=ex0 -e-x0＞0，故（fx）0在［1，+∞）上单调递增，故（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx0）=f（1）=e+e-1.又h′（x0）= a（-3+3），由于x0∈［1，+∞），且a是正数，所以h（′x）0＜0，故h（x0）在［1，+∞）上单
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