=x2?2t?5??t?2?=x2?2x???21????5??x??2? xx??? =x·?2x???21???22?5?·x·?x??2?=?2x?5x?2??x?2x?1? xx??? =(x?1)2(2x?1)(x?2)
(2)x4?4x3?x2?4x?1
解:原式=x2(x2?4x?1? 设x?1x?y,则x?24x1x2??1?1??2??2=xx??4x??1)?????? 22xx?x?????12?y?2
∴原式=x2(y2?4y?3)=x2(y?1)(y?3) =x(x?21x?1)(x?1x?3)=x?x?1x?3x?1
?2??2?练习14、(1)6x4?7x3?36x2?7x?6
(2)x4?2x3?x2?1?2(x?x2)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1)x3?3x2?4
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=x3?1?3x2?3 原式=x3?3x2?4x?4x?4
=(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4) =(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)
963(2)x?x?x?3
963解:原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)
=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1) =(x?1)(x?x?1?x?1?1) =(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)
练习15、分解因式
42243(1)x?9x?8 (2)(x?1)?(x?1)?(x?1) (3)x?7x?1 (4)x?x?2ax?1?a
(5)x?y?(x?y) (6)2ab?2ac?2bc?a?b?c
6
44426336333633332222242422222222444
七、待定系数法。
例16、分解因式x2?xy?6y2?x?13y?6
分析:原式的前3项x2?xy?6y2可以分为(x?3y)(x?2y),则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)
解:设x2?xy?6y2?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)
∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴
x?xy?6y?x?13y?6=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn
2222?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13,解得?
n?3??mn??6?∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)
例17、(1)当m为何值时,多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式,并分
解此多项式。
(2)如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2,求a?b的值。
(1)分析:前两项可以分解为(x?y)(x?y),故此多项式分解的形式必
为(x?y?a)(x?y?b)
解:设x?y?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)
则x?y?mx?5y?6=x?y?(a?b)x?(b?a)y?ab ?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得:?b?a?5,解得:?b?3或?b??3
?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时,原多项式可以分解;
当m?1时,原式=(x?y?2)(x?y?3);
222222当m??1时,原式=(x?y?2)(x?y?3)
32(2)分析:x?ax?bx?8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,
因此第三个因式必为形如x?c的一次二项式。
解:设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)
则x?ax?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c
323232 7
?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14, ?2c?8?c?4??∴a?b=21
练习17、(1)分解因式x2?3xy?10y2?x?9y?2
(2)分解因式x2?3xy?2y2?5x?7y?6
(3) 已知:x2?2xy?3y2?6x?14y?p能分解成两个一次因式
之积,求常数p并且分解因式。 (4) k为何值时,x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次
因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:习题大全 经典一: 一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式: m3-4m= . 3.分解因式: x2-4y2= __ _____. 4、分解因式:?x?4x?4=___________ ______。
5.将x-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为 .
,xy?66、若x?y?5n
2,则
xy?xy22=_________,
2x?2y22=__________。
二、选择题
7、多项式15mn?5mn?20mn的公因式是( ) A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( )
222a?3??a?3??a?9a?b??a?b??a?b??A、 B、
222322232 8
3??2m?2m?3?mm?2?2??a?4a?5?a?a?4??5m?? C、 D、
10.下列多项式能分解因式的是( )
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4 11.把(x-y)-(y-x)分解因式为( ) A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是( )
A.10abc+6ac+2ac=2ac(5b+3c) B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1) D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
13.若k-12xy+9x是一个完全平方式,那么k应为( ) A.2 B.4 C.2y2 D.4y2 三、把下列各式分解因式:
22 14、nx?ny 15、4m?9n
2
2
2
2
2
16、
m?m?n??n?n?m? 17、a?2ab?ab
322?x18、
2?4??16x22 19、
9(m?n)?16(m?n)22;
9
五、解答题
20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径
d?45cm,外径D?75cm,长l?3m。利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土?(?取3.14,结果保留2位有效数字)
l
22、观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。 (1) x?1??x?1??x?1?2(2) x?1??x?1??x?1??x?1?42(3) x?1??x?1??x?1??x?1??x?1?842(4) x16?1??x?1??x?1??x?1??x?1??x?1?842(5) _________________________________________________D d
10