【解析】（1）证明：因为P,Q分别是AE,AB的中点， 所以，PQ//BE,PQ?又DC//BE,DC?1BE， 21BE， 2所以，PQ//DC，PQ?平面ACD，
DC?平面ACD，
所以，PQ//平面ACD.
?ACB?90?. （2）因为DC?平面ABC，以点C为坐标原点，分别以CD,CA,CB的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则得C?0,0,0?,A?0,4,0?,B?0,0,4?,D?2,0,0?,E?4,0,4?， 所以AB??0,?4,4?,DE??2,0,4?， 所以cosAB,DE?AB?DEABDE?10， 510. 5所以异面直线AB与DE所成角的余弦值（3）由（Ⅱ）可知AB??0,?4,4?，AE??4,?4,4?， 设平面ABE的法向量为n??x,y,z?,
?n?AB?0??4y?4z?0则? 所以n??0,1,1?. ，?4x?4y?4z?0?n?AE?0?由已知可得平面ACD的法向量为以CB??0,0,4?， 所以cosn,BC?n?BCnBC?2. 2故所求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小为45?.
9．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学理）如图所示，三棱锥S?ABC中，平面SAB?平面ABC，平面SAC?平面ABC，D，E分别是AB和BC边上的点，且DE?AB，SA?2，AD?3，
DE?1，AC?23，?AEC?60?，F为CE的中点.
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（1）求证：DE//平面SAF；
（2）求直线SC与平面SDE所成角的正弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】
（1）平面SAB?平面ABC，平面SAC?平面ABC，平面SAC?平面SAB?SA 则SA?平面ABC，
又DE?AB，则?ADE?90? 因为AD?21 73，DE?1，?ADE?90?，
所以AE?2，?AED?60?，
在?ACE中，AC?23，AE?2，?AEC?60? 由余弦定理可得：AC2?AE2?EC2?2AE?ECcos?AEC 解得：CE?4
所以AE2?AC2?EC2，所以?ACE是直角三角形， 又F为CE的中点，所以AF?1EC?EF 2又?AEC?60?，所以?AEF为等边三角形， 所以?EAF?60???DEA，所以DE//AF， 又AF?平面SAF，DE?平面SAF， 所以DE//平面SAF.
（2）由（1）可知?DAF?90?，以点A为原点，以AB，AF，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建
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??所以SD??3,0,?2?，SE??3,1,?2?，SC???3,3,?2?.
立空间直角坐标系，则S?0,0,2?，D?3,0,0，E??3,1,0，C?3,3,0.
???n?SD?0?3x?2z?0 设n=?x,y,z?为平面SDE的法向量，则?，即?n?SE?0???3x?y?2z?0?3?31,0,设x?1，则y?0，z?，即平面SDE的一个法向量为n=?， ???22??所以cos?n，SC??n?SCn?SC
??2321??7 7?16421. 7所以直线SC与平面SDE所成角的正弦值为10．（北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控试题数学理）如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD，E为PD上的一点， PB//平面AEC ；
（1）求证：E为PD的中点; （2）求证：CD?AE
（3）设二面角D?AE?C为60°，AP?1，AD?【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】
（1）连BD交AC于O点，连结OE，
因为PB//平面AEC，PB?平面PBD，平面PBD?平面AEC?OE， ∴PB//OE，
∵O为BD中点，∴E为PD中点.
3，求AB长.
3. 2 13
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD，
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD， 又PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD． ∴CD⊥AE．
（3）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
设AB＝a，则A（0，0，0），C（a，3，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（0，
32，12），∴AC?（a，3，0），AE?（0，
32，12），AP?（0，0，1）， 显然m?（1，0，0）为平面AED的一个法向量，
设平面ACE的法向量为n?（x，y，z），则???n?AC?0?ax?3y?0?0，即???n?AE??3， ?2y?12z?0令z?3得n?（
3a，﹣1，3）， ∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴|cos＜m，n＞|＝|m?n31mn|?a4?32， a2解得a?32，即AB?32． 14
11．（河北省张家口市、沧州市2019届高三3月联考数学A类理）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．
（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，证明：A1C1∥l； （2）求平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）213 13【解析】（1）证明：在三棱台ABC﹣A1B1C1中，可得A1C1∥AC， 且A1C1?平面ABC，AC?平面ABC， 所以A1C1∥平面ABC，
又A1C1?平面A1C1B，平面A1C1B∩平面ABC＝l， 所以A1C1∥l．
（2）根据题意，以AB的中点为原点，AB为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．
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考点44 空间向量及其运算和空间位置关系(教师版) 备战2020年高考理科数学必刷题集
