（1）证明：因为AB//CD，?BCD?90?， 所以AB?BC，
又平面PAB?平面ABCD，且平面PAB?平面ABCD?AB， 所以BC⊥平面PAB.
又AQ?平面PAB，所以BC?AQ，
因为Q为PB中点，且?PAB为等边三角形，所以PB?AQ. 又PB?BC?B，所以AQ?平面PBC.
（2）取AB中点为O，连接PO，因为?PAB为等边三角形，所以PO?AB， 因为平面PAB?平面ABCD，所以PO?平面ABCD， 所以PO?OD，由AB?2BC?2CD?4，?ABC?90?， 可知OD//BC，所以OD?AB.
以AB中点O为坐标原点，分别以OA，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
所以A?2,0,0?，D?0,2,0?，C??2,2,0?，P?0,0,23，B??2,0,0?，
?所以DP?0,?2,23，CD??2,0,0?， 由（1）知，AQ为平面PBC的法向量， 因为Q为PB的中点， 所以Q?1,0,3， 所以AQ??3,0,3，
?????? 6
设平面PCD的法向量为n??x,y,z?，
2x?0??n?CD?0?由?，得?，
???2y?23z?0?n?DP?0取z?1，则n?0,3,1. 所以cosAQ,n???AQ?n?AQn332?3?3?1 ?1. 4因为二面角B?PC?D为钝角， 所以，二面角B?PC?D的余弦值为?1. 46．（天津市十二重点中学2024届高三下学期毕业班联考二理）如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形
ABCD为平行四边形，平面ADE?平面CDEF，?ADE?60，DE//CF，CD?DE，AD?2，
DE?DC?3,CF?4，点G是棱CF上的动点.
（Ⅰ）当CG?3时，求证EG//平面ABF； （Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G?AE?D所成角的余弦值为
22，求线段CG的长. 11【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】
4233 ；（Ⅲ）3?38（Ⅰ）由已知得CG//DE且CG?DE， 则四边形CDEG为平行四边形 ?CD//EG 四边形ABCD为平行四边形 ?CD//AB ?AB//EG 又EG?平面ABF，AB平面ABF ?EG//平面ABF
（Ⅱ）过点A作AO?DE交DE于点O， 过点O作OK//CD交CF于点K
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平面ADE?平面CDEF，平面ADE平面CDEF?DE，AO?平面ADE
?AO?平面CDEF
CD?DE ?OK?DE
以O为原点建立如图的空间直角坐标系
则D?0,?1,0?，E?0,2,0?，C?3,?1,0?，F?3,3,0?，A?0,0,3?，B?3,0,3?设平面ABCD的法向量为m??x,y,z?，DC??3,0,0?，DA??0,1,3?
???m?DC?0，即??3x??m?DA?0?0??0 ?y?3z令z??1 ?y?3，x?0 ?m??0,3,?1?
又BE???3,2,?3? ?cos （Ⅲ）CG??CF???0,4,0?，0≤?≤1 ?G?3,4??1,0? 设平面AEG的法向量为p??x,y,z?，AE??0,2,?3?，EG??3,4??3,0? ???p?AE?0，即??2y?3z?0?p?EG?0??，令y?3 ?3x??4??3?y?0?z?23，x?3?4? ?p??3?4?,3,23? 又可取平面AED的法向量q??1,0,0? cos 解得?4??3?2?143 ?4??3?423 ?CG??CF?4??3?423 CG?4 ?CG?3?423 7．（广东省湛江市2024年普通高考测试二理）三棱锥A?BCD中，底面?BCD是等腰直角三角形， BC?BD?2,AB?2，且AB?CD,O为CD中点，如图. （1）求证：平面ABO?平面BCD； （2）若二面角A?CD?B的大小为 ?3，求AD与平面ABC所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2）427 【解析】 （1）证明：?BCD是等腰直角三角形，BC?BD?2,O为CD中点，?BO?CD AB?CD,AB?BO?B,?CD?平面ABO CD?平面BCD,?平面ABO?平面BCD （2） CD?平面ABO,?CD?AO ??AOB为二面角A?CD?B的平面角，??AOB??3 BO?2,?AB?BO,??ABO为等边三角形， 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B?0,0,0?,C?2,0,0?, A??116??2,2,2??,D?0,2,0? ?? 9 BA???1?2,12,6?2??,BC??2,0,0?, AD?????12,32,?6??? ???2?设平面ABC的法向量n??x,y,z?，则??BA?n?0,?即?1?BC?n?0,??2x?12y?62z?0 ?2x?0取n??0,6,?1? 设AD与平面ABC所成角为?，则 36sin??cosn,AD?12?62?427 2?1?9?6?7故AD平面ABC所成角的正弦值为 427. 8．（天津市部分区2024年高三质量调查试题二数学理）如图，DC⊥平面ABC，EB//DC， AC?BC?EB?2DC?4，?ACB?90?，P、Q分别为AE，AB的中点. (1)证明：PQ//平面ACD. (2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值； (3)求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小。 【答案】(1)见证明；(2) 105 (3) 45? 10
考点44 空间向量及其运算和空间位置关系(教师版) 备战2024年高考理科数学必刷题集
