考点44 空间向量及其运算和空间位置关系
1．（河北省示范性高中2019届高三4月联考数学理）在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，
?BAD??BCD?90?，?ADC?60?且AD?CD，BB1?平面ABCD，BB1?2AB?2．
（1）证明：AC?B1D；
（2）求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析； （2）【解析】
（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA， 又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC， ∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB， ∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°， ∴AC⊥BD，
又因为BB1?平面ABCD，所以AC?BB1，又BB1?BD?B,所以AC?平面BB1D， 因为B1D?平面BB1D，所以AC?B1D.
（2）以AC，BD的交点O为原点，过O作平行于AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
2105. 35?3??1??1??3?D??,0,0?， 0,,2O?xyz，由（1）及BB1?2AB?2，知B?,0,0?，B1?,0,2?，C1?，??2??2??2??2????13??13?BC??,,2BC?所以?1?22??，11???2,2,0??，B1D???2,0,?2?.
?????13??B1C1?n?0y?0??x?设平面B1C1D的法向量为n??x,y,z?，由?，得?2， 2BD?n?0??1??2x?2z?0????3?x?3yn?1,,?1. 所以?，令z??1，得????3x??z???? 1
设BC1与平面B1C1D所成的角为?，则sin??cosn,BC1?133????22235?73 ?2105. 35
2．（湖北省2019届高三4月份调研考试数学理）已知四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AD//BC，
AB?AD?3，BC?4，AC?5.
（1）当AP变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时，求二面角A?PD?C的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) ?19 19【解析】（1）由AB?3，BC?4，AC?5知AB2?BC2?AC2，则AB?BC，
由PA?面ABCD，BC?面ABCD得PA?BC，由PA?AB?A，PA，AB?面PAB， 则BC?面PAB，则点C到平面PAB的距离为一个定值，BC?4.
（2）由PA?面ABCD，AB为PB在平面ABCD上的射影，则?PBA为直线PB与平面
ABCD所成的角，则?PBA?45?，所以PA?AB?3.
由AD//BC，AB?BC得AB?AD，故直线AB、AD、AP两两垂直，因此，以点A
2
为坐标原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间 直角坐标系，易得P?0,0,3?，D?0,3,0?，C?3,4,0?，于是DP??0,?3,3?，DC??3,1,0?，
?DP?0??3y?3z?0?n1·设平面PDC的法向量为n1??x,y,z?，则?，即?，取x?1，则
3x?y?0n·DC?0???1y??3，z??3，于是n1??1,?3,?3?；显然n2??1,0,0?为平面PAD的一个法向量，
于是，cosn1,n2?n1·n2119?? 222n1n2191???3????3?19. 19分析知二面角A?PD?C的余弦值为?3．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，?DAB?60?，AD?2，AM?1， ME?2，E为AB的中点.
（1）平面ADNM?平面ABCD
（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P?EC?D的大小为在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）?？若存在，求出AP的长度；若不存67 7【解析】（1）证明：由题意知，四边形ADMN为矩形，所以AM?AD， 又∵四边形ABCD为菱形，E为AB中点， 所以AM?1，AE?1，ME?2，所以AE2?AM2?ME2，所以AE?AM，
又AE?AD?A，所以AM?平面ABCD，又AM?平面ADNM， 所以平面ABCD?平面ADNM
（2）假设线段AM上存在点P，使二面角P?EC?D的大小为
?，在AM上取一点P， 63
连接EP，CP.
由于四边形ABCD是菱形，且?DAB?60?，E是AB的中点，可得DE?AB. 又四边形ADMM是矩形，平面ADNM?平面ABCD，∴DN?平面ABCD， 所以建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz 则D?0,0,0?，E则CE???3,0,0，C?0,2,0?，P??3,?1,h，
??3,?2,0，EP??0,?1,h?，设平面PEC的法向量为n1??x,y,z?，
??n1?0?cE·?3x?2y?0则?，∴?，令y?3h，则n1?2h,3h,3，
n1?0???EP·??y?hz?0??又平面DEC的法向量n2??0,0,1?， 所以cosn1,n2?n1·n2n1n2?37h2?3?37，解得h?， 27所以在线段AM上存在点P，使二面角P?EC?D的大小为
?7. ，此时h?67
4．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA?平面ABCD，且AB?AC?2PA，点E，F分别是AD和PB的中点.
（Ⅰ）求证EF//平面PCD； （Ⅱ）求二面角B?EF?C的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）23. 54
【解析】
（Ⅰ）如图，取PA的中点M，连结EM，FM，则FM//AB//CD，EM//PD. ∴平面EFM//平面PCD，∴EF//平面PCD；
（Ⅱ）以AC的中点O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴， 建立空间直角坐标系，不妨设PA?1，则AB?AD?2， 得B0,?3,0，C?1,0,0?，E??????13??131?,,0?F?,?,?，， ????22??22??2?133??131?得BE????2,2,0??，BF????2,2,2??.
??????n1?BE?0n?x,y,z设平面BEF的法向量为1?，得n1?33,1,23， ?，则???n1?BF?0??同理可得平面CEF的法向量为n1?1,3,6， ∴cos????n1?n2n1n2?2323. ，∴二面角B?EF?C的余弦值为
555．（河南省六市2019届高三第二次联考数学理）如图，四棱锥P?ABCD，AB//CD，?BCD?90?，
AB?2BC?2CD?4，?PAB为等边三角形，平面PAB?平面ABCD，Q为PB中点.
（1）求证：AQ?平面PBC； （2）求二面角B?PC?D的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）?【解析】
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考点44 空间向量及其运算和空间位置关系(教师版) 备战2020年高考理科数学必刷题集
