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2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是 (A)1?ex(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是
(A)(C)
?(x,y)dx
?
(B)(D)
??f(x,y)dy
f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy
??f(x,y)ds
??(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是
(B)ln
1?x
1?x
(A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
(C)1?x?1
(D)1?cosx
(2)曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为 x
(B)1 (D)3
(A)0 (C)2
?2?1?1??100?????(8)设矩阵A???12?1?,B??010?,则A与B
??1?12??000?????(A)合同,且相似
(C)不合同,但相似
(B)合同,但不相似
(D)既不合同,也不相似
(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)?(A)F(3)??(C)F(3)?(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A)3p(1?p)2
(B)6p(1?p)2 (D)6p2(1?p)2
?x0f(t)dt.则下列结论正确的是
3F(?2) 4
3F(2) 45F(2) 45(D)F(3)??F(?2)
4(B)F(3)?(C)3p2(1?p)2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是
(x|y)为
(B)fY(y)
f(x)存在,则f(0)?0
x?0xf(x)(C)若lim 存在,则f?(0)?0
x?0x(A)若lim
f(x)?f(?x) 存在,则f(0)?0
x?0xf(x)?f(?x)(D)若lim 存在,则f?(0)?0
x?0x(B)若lim(A)fX(x)
(C)fX(x)fY(y) (D)
fX(x) fY(y)(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是
(A)若u1?u2,则{un}必收敛 (C)若u1?u2,则{un}必收敛
(B)若u1?u2,则{un}必发散
二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)
?21(D)若u1?u2,则{un}必发散
11exdx=_______. 3x?z=______. ?x(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则
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(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________. (14)设曲面
?:|x|?|y|?|z|?1,则????(x?|y|)ds=_____________.
与方程
?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0, ?x?4x?a2x?023?1?0?0(15)设矩阵A???0??0100001000??0?3,则A的秩为________. 1??0?1的概率为________. 2x1?2x2?x3?a?1,
有公共解,求a的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)
设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.
(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(17)(本题满分11分)
求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)
y2(0?z?1)的上侧. 计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中 ?为曲面z?1?x?4?2(19)(本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大
(1)求P{X?2Y}.
值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?). (20)(本题满分10分) 设幂级数
(2)求Z?X?Y的概率密度.
(24)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为
?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他??axnn?0?n 在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足
y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
(1)证明:an?2?2an,n?1,2,?. n?1(2)求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)
设线性方程组
?1?2?,0?x????1f(x;?)??,??x?1
2(1??)??0,其他??X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值
(1)求参数?的矩估计量??.
(2)判断4X是否为?的无偏估计量,并说明理由.
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(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F22008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设函数f(x)?(A)0 (C)2
?x?
2
(B) F?x?F?y?
(D) ??1?F?x?????1?F?y???
(C) 1???1?F?x???
?x2(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1
(B)P?Y?2X?1??1 (D)P?Y?2X?1??1
0ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数
(B)1 (D)3
(2)函数f(x,y)?arctan(A)i (C)j
x在点(0,1)处的梯度等于 y
(B)-i (D)?j
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.
(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是 (A)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0
(B)y????y???4y??4y?0 (D)y????y???4y??4y?0
(11)已知幂级数
?a?x?2?nn?0?n在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数
?a?x?3?nn?0?n的收敛域为
?????????????????.
(12)设曲面?是z?(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛
(B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛
4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.
?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为
?????????????????.
2(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX?EX??????????????????.
3(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A?0,则
?? (A)E?A不可逆,E?A不可逆 (C)E?A可逆,E?A可逆
(B)E?A不可逆,E?A可逆 (D)E?A可逆,E?A不可逆
?x???(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A?y??1?z???在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
sinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. x?0x4(16)(本题满分10分)
计算曲线积分
?Lsin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.
(17)(本题满分10分)
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?x2?y2?2z2?0已知曲线C:?,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.
?x?y?3z?5(18)(本题满分10分) 设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x??(1)求P?Z???1?X?0?. 2?(2)求Z的概率密度.
(23)(本题满分11分)
?f?t?dt可导,且F??x??f?x?.
0x设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本.
(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2期函数.
(19)(本题满分10分)
?x0f(t)dt?x?f(t)dt也是以2为周期的周
02121n1n222T?X?S 记X??Xi,S?,(X?X)?inn?1i?1ni?1 (1)证明T是?2的无偏估计量.
f?x??1?x(0?x??),用余弦级数展开,并求?2n?1???1?n2n?1的和.
(2)当??0,??1时 ,求DT.
(20)(本题满分11分)
A?ααT?ββT,αT为α的转置,βT为β的转置.证明:
(1)r(A)?2.
(2)若α,β线性相关,则r(A)?2. (21)(本题满分11分)
?2a1??2?a2a??设矩阵A??,现矩阵A????1??2a2a??n?nX??x1,?,xn?,B??1,0,?,0?,
(1)求证A??n?1?a.
nT满足方程AX?B,其中
(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?,Y的概率密度为3?10?y?1fY?y???,记Z?X?Y,
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数学(一)试卷
f(x) 1 f(x) 1 0 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?等价无穷小,则
2-2 (A)
-1 1 2 3 x
(B)
-2 -1 0 1 2 3 x
1(A)a?1,b??
61(C)a??1,b??
6(2)如图,正方形
1(B)a?1,b?
6
(D)a??1,b?
1 6f(x) 1 0 f(x) 1 ??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为四个区域
DkDk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max?Ik??
1?k?4
(A)I1 (C)I3
(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
(A)当
(B)I2 (D)I4
(C)
-1 1 2 3 x
n??-2
(D)
-1 0 1 2 3 x
(4)设有两个数列?an?,?bn?,若liman?0,则
?bn?1??n收敛时,
?abn?1??nn收敛. (B)当
?bn?1??n发散时,
?abn?1??nn发散.
f(x) O 0 -1 (C)当
?bn?1n收敛时,
?abn?122nn收敛. (D)当
?bn?1n发散时,
?abn?122nn发散.
(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R的一组基,则由基α1,矩阵为
311α2,α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡23-2 则函数F?x??1 2 3 x
?f?t?dt的图形为
0x?101???(A)?220?
?033???
?120???(B)?023? ?103???
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考研数学一历年真题(1987-2010)（office2003版）
