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(4)设f(x)?3x?xx,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为 (A)0 (C)2
(B)1 (D)3
32
1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则
?1??0?????(5)要使ξ1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为
?2???1?????(A)?212
dy=_____________. dxM??
(B)?(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度gradu(3)设f(x)?
=_____________.
?20?1? ??011??11?x 2???x?0,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.
0?x????102?(C)? ??01?1?
?01?1???(D)4?2?2 ???1??01?(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求limx?0?a1b1?ab21(5)设A??????anb1r(A)=_____________.
a1b2?a1bn?a2b1?a2bn??,其中a?0b,i?i?????anb2?anbn?ex?sinx?11?1?xxi0?,(?n1,则2矩阵A的秩
2.
?2z(2)设z?f(esiny,x?y),其中f具有二阶连续偏导数,求.
?x?y22
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
31?x2x?0(3)设f(x)? ,求?f(x?2)dx.
1?xx?0ex2?1x1e?1的极限 (1)当x?1时,函数
x?1(A)等于2 (C)为?
?
四、(本题满分6分)
求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.
n (B)等于0
(D)不存在但不为?
五、(本题满分8分) 计算曲面积分
32323(x?az)dy?d(z?y)ax?d(z?dx???2a(2)级数?(?1)(1?cos)(常数a?0)
nn?1(A)发散
(C)绝对收敛
(B)条件收敛
(D)收敛性与a有关
)z其中,ayd上xd半y球面?为
z?a2?x2?y2的上侧.
六、（本题满分7分）
设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2). 七、（本题满分8分）
(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条
(C)至少有3条
(B)只有2条 (D)不存在
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????x2y2z2在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2?2?2?1上第一卦限的
abc点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
??1??1??1??1?????????ξ1??1?,ξ2??2?,ξ3??3?,又向量β??2?.
?1??4??9??3?????????(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知P(A)?P(B)?P(C)?率为____________.
(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的
11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,则事件A、B、C全不发生的概461概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)?2??x??e?t22dt).
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? 3? 21993年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)?
(C) (D)
(4)设曲线积分
?[f(t)?Lxe]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且
f(0)?0,则f(x)等于
?x11(2?)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.
t
e?x?ex(A)
2ex?e?x?1 (C)
2
ex?e?x(B)
2ex?e?x(D)1?
2(2)由曲线 3x2?2y2?12z?0
2绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量
为_____________.
a0?(3)设函数f(x)??x?x(???x??)的傅里叶级数展开式为??(ancosnx?bnsinnx),则其中
2n?1系数b3的值为_____________.
(4)设数量场u?ln?123???(5)已知Q?24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 ????369??(A)t?6时P的秩必为1
(C)t?6时P的秩必为1
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求lim(sinx??
(B)t?6时P的秩必为2 (D)t?6时P的秩必为2
x2?y2?z2,则div(gradu)=_____________.
(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)?21?cos)x. xx (2)求
?xexe?1xdx.
?sinx(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件y
四、(本题满分6分) 计算
x?1?1的特解.
0sin(t2)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的
(B)同价但非等价的无穷小 (D)低价无穷小
(A)等价无穷小 (C)高阶无穷小
(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为
??22222z?x?yz?2?x?y其中是由曲面与所围立体的表2xzdydz?yzdzdx?zdxdy,?????(A)2(C)2?40cos2?d? cos2?d?
(B)4
?40cos2?d?
面外侧.
五、(本题满分7分)
??401?2(D)?4(cos2?)d?
20(?1)n(n2?n?1)求级数?的和. n2n?0?x?y?6x?1y?5z?8l:??(3)设有直线1与l2: 则l与l的夹角为
2y?z?3121?21(A)
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)
(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一
? 6 (B)
? 4个零点.
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(2)设b?a?e,证明ab?ba. 七、（本题满分8分）
222已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形22f?y12?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、（本题满分6分）
设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.
九、（本题满分6分）
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.
2(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X在(0,4)内的概率分布密度
fY(y)=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X的概率分布密度为f(x)?
(1)求X的数学期望EX和方差DX.
(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?
1?xe,???x???. 2考研英语作文模板
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(A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
2x?cost()1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)limcot?(x?0(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
11?)= _____________. sinxx
(1)设 (2)曲面z?e?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
xy?tcost(?)?2t212u1?dyd2y,求、2在t?的值.
dxdx2cuduosx?2u1?x(3)设u?esin,则在点(2,)处的值为_____________.
?y?x?y(2)将函数f(x)?11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数. 41?x2x2y2(4)设区域D为x?y?R,则??(2?2)dxdy=_____________.
abD222(3)求
dx?sin(2x)?2sinx.
(5)已知α?[1,2,3],β?[1,,],设A?α?β,其中α?是α的转置,则A=_____________.
n1123
四、(本题满分6分)
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
??sinx43423422(1)设M??2?cosxdx,N?(sinx?cosx)dx,P?(xsinx?cosx)dx,则有 ?????1?x2??222?xdydz?z2dxdy222S计算曲面积分??其中是由曲面及z?R,z??R(R?0)两平面所围成x?y?R,222x?y?zS立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分)
?f(x)1?0,证明级数?f()绝对收敛. 设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx?0xnn?1(A)N?P?M
(C)N?M?P
(B)M?P?N (D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 (3)设常数??0,且级数(A)发散
2n
? (B)必要条件而非充分条件
(D)既非充分条件又非必要条件
n?an?1?收敛,则级数
?(?1)n?1ann??2
2
(B)条件收敛 (D)收敛性与?有关
七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由
(C)绝对收敛 (4)limx?0atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)
?2,其中a2?c2?0,则必有
(B)b??4d (D)a??4c
S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.
八、（本题满分8分）
(A)b?4d
(C)a?4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组
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考研数学一历年真题(1987-2010)（office2003版）
