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八、（本题满分8分）
假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)
1?为A的特征值.
?1(2)
A?为A的伴随矩阵A的特征值.
* 九、（本题满分9分）
设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内
部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)=____________.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.
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f(x)?2,则在点x?0处f(x)
x?01?cosx1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,lim(A)不可导
(B)可导,且f?(0)?0 (D)取得极小值
(C)取得极大值
x??t?2
y?3t?4垂直的平面方程是_____________.
(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是
(1)过点M(1,2?1)且与直线
x?? z?t?1
(2)设a为非零常数,则lim((3)设函数f(x)? 222x?ax)=_____________. x?a
10
x?1x?1β1?β2 2β?β2(C)k1α1?k2(β1?β2)?1
2(A)k1α1?k2(α1?α2)?
β1?β2 2β?β2(D)k1α1?k2(β1?β2)?1
2(B)k1α1?k2(α1?α2)?,则f[f(x)]=_____________.
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求
(4)积分
?0dx?e?ydy的值等于_____________.
xln(1?x)?0(2?x)2dx.
1(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)是连续函数,且F(x)?(A)?e?xf(e?x)?f(x) (C)e?x
?2z(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求.
?x?y(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).
四、(本题满分6分) 求幂级数
?e?xxf(t)dt,则F?(x)等于
(B)?e?xf(e?x)?f(x) (D)e?x
?(2n?1)xn?0?n的收敛域,并求其和函数.
f(e)?f(x)
?xf(e)?f(x)
?x(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数
五、(本题满分8分) 求曲面积分
f(n)(x)是
(A)n![f(x)]n?1 (C)[f(x)]2n
(B)n[f(x)]n?1 (D)n![f(x)]2n
I???yzdzdx?2dxdy
S其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.
六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.
(3)设a为常数,则级数(A)绝对收敛
(C)发散
?[n?1?sin(na)1?] n2n
(B)条件收敛 (D)收敛性与a的取值有关
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七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
十一、（本题满分6分）
?1?100??2?01?10??0?,C??B???001?1??0???0001???0且矩阵A满足关系式
120031204?3?? 1??2?设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).
A(E?C?1B)?C??E
其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
八、（本题满分8分）
222求一个正交变换化二次型f?x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.
九、（本题满分8分）
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过
??程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向??垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.求变力F对质点P所作的功.
2
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X的概率密度函数
f(x)?则X的概率分布函数F(x)=____________.
1?xe,???x??? 2(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.
2ke?2,k?0,1,2,?,则(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{X?k}?k!随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.
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(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
D??(xy?cosxsiny)dxdy等于
(A)2??cosxsinydxdy
D1D1
(B)2??xydxdy
D1d2y(1)设 ,则2=_____________.
dxy?cost?(2)由方程xyz2x?1?t2(C)4
??(xy?cosxsiny)dxdy
(D)0
(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E
(C)BAC?E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?x?2y?
2z?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,?0,处1的全微分
dz=_____________.
(B)CBA?E
(D)BCA?E
(3)已知两条直线的方程是l1:是_____________.
x?1y?2z?3x?2y?1z??;l2:??.则过l1且平行于l2的平面方程10?1211
(4)已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.
123(cosx)2. (1)求lim?x?0?5?2(5)设4阶方阵A???0??0210000?00??,则A的逆阵A?1=_____________. 1?2??11?6x2?8y2?222 (2)设n是曲面2x?3y?z?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?在点Pz?处沿方向n的方向导数.
(3)体.
四、(本题满分6分)
过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)曲线y????(x?2?y?z)dv,其中?是由曲线
2y2?2zx?0绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的立
1?e?x1?e2?x2
(B)仅有水平渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线
?(1?y)dx?(2x?y)dy的值最小.
L3(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)?x(A)eln2
?2?0tf()dt?ln2,则f(x)等于 2
(B)e2x
五、(本题满分8分)
将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数 六、（本题满分7分）
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3
n?1
?
ln2
?nn?1?12的和.
(C)e?ln2
?x(D)e?ln2
?2x(3)已知级数(A)3
(C)8
?(?1)n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于
n?1n?1?1 (B)7 (D)9
23f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使
f?(c)?0.
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七、（本题满分8分）
已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及β?(1,1,b?3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1. 九、（本题满分8分）
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则
P{X?0}=____________.
(2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积
成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
?的概率为____________. 4f(x,y)? 求随机变量Z?X?2Y的分布函数.
2e?(x?2y) x?0,y?00 其它
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考研数学一历年真题(1987-2010)（office2003版）
