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(1) x2?1??x?1??x?1?(2) x4?1??x2?1??x?1??x?1?(3) x8?1??x4?1??x2?1??x?1??x?1?(4) x16?1??x8?1??x4?1??x2?1??x?1??x?1?(5) _________________________________________________
经典二：
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x5?x4?x3?x2?x?1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5?x4?x3和?x2?x?1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后，再进一步分解；也可把x5?x4，x3?x2，x?1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式?(x5?x4?x3)?(x2?x?1)
?x3(x2?x?1)?(x2?x?1) ?(x3?1)(x2?x?1)?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)
解二：原式=(x5?x4)?(x3?x2)?(x?1)
?x4(x?1)?x2(x?1)?(x?1)
?(x?1)(x4?x??1)?(x?1)[(x?2x?1)?x]?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)422
2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x3?3x2?4 解一：将3x2拆成2x2?x2，则有
z
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原式?x3?2x2?(x2?4)
?x2(x?2)?(x?2)(x?2)?(x?2)(x?x?2)?(x?1)(x?2)22
解二：将常数?4拆成?1?3，则有
原式?x3?1?(3x2?3)
?(x?1)(x2?x?1)?(x?1)(3x?3)?(x?1)(x?4x?4)?(x?1)(x?2)22
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：(x2?4)(x2?10x?21)?100
?(x?2)(x?2)(x?3)(x?7)?100 ?(x?2)(x?7)(x?2)(x?3)?100
?(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100 设y?x2?5x，则
原式?(y?14)(y?6)?100?y2?8y?16?(y?4)2 ?无论y取何值都有(y?4)2?0?(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：(a?2b?c)3?(a?b)3?(b?c)3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
z
. . .
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
?原式?(A?B)3?A3?B3?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B3 ?3A2B?3AB2?3AB(A?B)?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
例1.在?ABC中，三边a,b,c满足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0 求证：a?c?2b
证明：?a2?16b2?c2?6ab?10bc?0
?a2?6ab?9b2?c2?10bc?25b2?0即(a?3b)2?(c?5b)2?0(a?8b?c)(a?2b?c)?0 ?a?b?c?a?8b?c，即a?8b?c?0于是有a?2b?c?0即a?c?2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
11?2，则x3?3?__________ xx111 解：x3?3?(x?)(x2?1?)
xxx 例2. 已知：x?z
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11?(x?)[(x?)2?2?1]xx ?2?1
?2 说明：利用x2?12?(x?)?2等式化繁为易。
xx21题型展示
1. 若x为任意整数，求证：(7?x)(3?x)(4?x2)的值不大于100。 解：?(7?x)(3?x)(4?x)?100
2??(x?7)(x?2)(x?3)(x?2)?100??(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100 ??[(x2?5x)?8(x2?5x)?16]??(x2?5x?4)2?0?(7?x)(3?x)(4?x2)?100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2.
a2?(a?1)2?(a2?a)2分解因式，并用分解结果计算62?72?422。
将
解：a2?(a?1)2?(a2?a)2
?a2?a2?2a?1?(a2?a)2 ?2(a2?a)?1?(a2?a)2?(a2?a?1)2
?62?72?422?(36?6?1)2?432?1849 说明：利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟
z
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1. 分解因式：
（1）3x5?10x4?8x3?3x2?10x?8（2）(a?3a?3)(a?3a?1)?522
（3）x2?2xy?3y2?3x?5y?2（4）x?7x?63
2. 已知：x?y?6，xy??1，求：x3?y3的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3?x2y?xy2?y3?0，求矩形的面积。
4. 求证：n3?5n是6的倍数。（其中n为整数） 5.
已
知
：
a、
b、
c
是非零实数，
且
111111a2?b2?c2?1，a(?)?b(?)?c(?)??3，求a+b+c的值。
bccaab 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2?b2?c2和4a2b2的大小。 经典三：因式分解练习题精选 一、填空：（30分）
1、若x?2(m?3)x?16是完全平方式，则m的值等于_____。
22、x?x?m?(x?n)则m=____n=____ 3、2xy与12xy的公因式是＿
4、若x?y=(x?y)(x?y)(x?y)，则m=_______，n=_________。 5、在多项式3y?5y?15y中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。
z
23522326mn2224
因式分解常用方法(方法最全最详细)
