第一学期高等数学期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），
x?1?cosx??2x 1．求极限limx?0sin3x．
解： ?lim?sinx1??．
x?0?1?cosx?2x43x2 2．设x?0时，f?x?与是等价无穷小，
2 解：
x?0f?t?dt与Axk等价无穷小，求常数k与A．
33 由于当x?0时，所以，lim?f?t?dt与Ax0xk等价无穷小，所以lim?f?t?dt0xx?0Axk?1．而
1?1．因此，k?1,x?06Akxk?11A?．
6 3．如果不定积分
??x?1??1?x?22x2?ax?bdx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件．
解： 将
?x?1??1?x2x2?ax?b2??化为部分分式，有
x2?ax?b?x?1?2?1?x2?ABCx?D??， 22x?1?x?1?1?x因此不定积分
??x?1??1?x?22x2?ax?bdx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数
A?C?0．
即
x2?ax?b?x?1?2?1?x2?BDB?1?x2??D?x?1?． ???2222?x?1?1?x?x?1??1?x?2222所以，有x?ax?b?B1?x?D?x?1???B?D?x?2Dx??B?D?．
2??比较上式两端的系数，有1?B?D,a?2D,b?B?D．所以，得b?1．
52 5．计算定积分min1,0??x?2?dx．
解：
x?1?1?2?x1?x?2? ??．
x?22?x?3??x?3?152所以，min1,0??x?2?dx??1dx???2?x?dx???x?2?dx?012125213． 8 5．设曲线C的极坐标方程为r?asin3 解： 曲线r?asin33??3，求曲线C的全长．
?3一周的定义域为0?3?22?3??，即0???3?．因此曲线C的全长为
6 s???r??????r?????d???200asin?3?asin24?3cos2?33?d???asin20?3d???a． 32二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．求出函数f?x??limn??? 解：
sin??x?2n的所有间断点，并指出这些间断点的类型．
1??2x?
1???sin?xx??2?11x?sin??x???22f?x??lim??2nn???1??2x?11．
??x??2?21?0x???211与x2?是函数f?x?的间断点． 22x??12x??12x??12因此x1?? lim?f?x??lim?0?0，lim?f?x??lim?sin??x???1，因此x??x??121是函数f?x?的第一类可去型间断点． 2 lim?f?x??lim?sin??x??1，lim?f?x??lim?0?0，因此x?x??12x??12x?12x??121是函数f?x?的第一类可去型间断点． 2 7．设?是函数f?x??arcsinx在区间?0,b?上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限
lim?bb?0．
解：
f?x??arcsinx在区间?0,b?上应用Lagrange中值定理，知存在???0,b?，使得
arcsinb?arcsin0?11??2?b?0?．
?b?所以，?2?1???．因此，
arcsinb??令t?arcsinb，则有 所以，lim2?bb?0?1． 31?x 8．设f?x?? 解： 在方程f?x??1?11?x?e0y?2?y?dy，求?f?x?dx．
01y?2?y?edy中，令x?1，得 ?0 f?1???e0y?2?y?dy??ey?2?y?dy?0．
0y?2?y?0再在方程f?x??11?x?e0dy两端对x求导，得f??x???e111?x2，
因此，
?f?x?dx?xf?x???xf??x?dx???xf??x?dx
100001 ?xe0?1?x21dx?e?xe?x0x221?12?dx?e???e?x???e?1?．
?2?021 9．研究方程e?ax 解：
设函数f?x??axe2?x?a?0?在区间???,???内实根的个数．
?1，f??x??2axe?x?ax2e?x?ax?2?x?e?x．
令f??x??0，得函数f?x?的驻点x1?0,由于a?0，所以 limf?x??limaxex???x???x2?2．
?2?x?1????，
limf?x??limaxex???x????2?xx22x2?1??alimx?1?alimx?1?alimx?1??1．
x???ex???ex???e因此，得函数f?x?的性态 ?2 e22?x ⑴ 若4ae?1?0，即a?时，函数f?x??axe?1在???,0?、?0,2?、?2,???内各有一个零
4点，即方程e?ax在???,x2?2???内有3个实根．
e22?x ⑵ 若4ae?1?0，即a?时，函数f?x??axe?1在???,0?、?0,???内各有一个零点，即方程
4ex?ax2在???,???内有2个实根．
e22?xx2 ⑶ 若4ae?1?0，即a?时，函数f?x??axe?1在???,0?有一个零点，即方程e?ax在
4?2???,???内有1个实根．
10．设函数f?x?可导，且满足
f???x??x?f??x??1?，f?0??0．
试求函数f?x?的极值． 解：
在方程f???x??x?f??x??1?中令t??x，得f??t???t?f???t??1?，即
f??x???x?f???x??1?．
在方程组??f??x??xf???x??x中消去f???x?，得
??xf??x??f???x???xx?x2f??x??．
1?x2t?t2dt．即 积分，注意f?0??0，得f?x??f?0???21?t0t?t212??dt?x?ln1?x?arctanx． f?x???21?t20xx 1?2x?x2x?x2 由f??x??得函数f?x?的驻点x1?0,x2??1．而f???x??．所以， 2221?x1?x?? f???0??1?0，f????1???1?0． 21?ln2?是函数f?x?极大值． 24所以，f?0??0是函数f?x?极小值；f??1???1?三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），
11．求曲线y?的体积为最小． 解：
设切点坐标为t,x的一条切线，使得该曲线与切线l及直线x?0和x?2所围成的图形绕x轴旋转的旋转体
?t，由y??12t，可知曲线y?x在t,?t处的切线方程为
?y?t?因此所求旋转体的体积为 所以，
12t?x?t?，或y?12t?x?t?．
22dV??8????2?2??0．得驻点t??，舍去t??．由于 dt4?3t33?d2V
dt2y??2t?3?1643t2?t?23?0，因而函数V在t?2处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为331x?． 42 12．设函数f?x?在闭区间?0，1?上连续，在开区间?0，1?内可导，且
2?f?x?e?arctanxdx?01，f?1??0． 2．
证明：至少存在一点???0，1?，使得f????? 解：
?1?1???arctan?2 因为f?x?在闭区间?0,1?上连续，所以由积分中值定理，知存在???0,2??2?，使得 ????f?x??earctanxdx?02?ef???arctan?．
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