线性代数模拟题A
一．单选题.
1.下列（ ）是4级偶排列．
（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果
a11D?a21a31那么D1?（ ）．
a12a22a32a13a334a114a312a11?3a122a21?3a222a31?3a32a13a23，
a33a23?1，D1?4a21（A） 8； (B) ?12； (C) 24； (D) ?24． 3. 设A与B均为n?n矩阵，满足AB?O，则必有（ ）．
（A）A?O或B?O； （B）A?B?O；
（C）A?0或B?0； （D）A?B?0．
4. 设A为n阶方阵(n?3)，而A是A的伴随矩阵，又k为常数，且k?0,?1，则必有?kA?**等于（ ）．
（A）kA*； （B）kn?1A*； （C）knA*； （D）k?1A*． 5.向量组?1,?2,....,?s线性相关的充要条件是（ ） （A）?1,?2,....,?s中有一零向量
(B) ?1,?2,....,?s中任意两个向量的分量成比例 (C) ?1,?2,....,?s中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) ?1,?2,....,?s中任意一个向量都是其余向量的线性组合
6. 已知?1,?2是非齐次方程组Ax?b的两个不同解，?1,?2是Ax?0的基础解系，k1,k2为任意常数，则Ax?b的通解为（ ） (A) k1?1?k2(?1??2)??1??22; (B) k1?1?k2(?1??2)??1??22
(C) k1?1?k2(?1??2)??1??22; (D) k1?1?k2(?1??2)?－
?1??22
7. λ＝2是A的特征值，则（A2/3）1的一个特征值是（ ）
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
-1
8. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-I|=( )
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9. 若A是（ ），则A必有A??A．
（A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A为可逆矩阵，下列（ ）恒正确． （A）?2A??2A?； (B) ?2A? (C) (A)??1?2A?1 ；
?1??1?1????(A?)???1； (D) ?(A?)????(A?1)?1．
??二．计算题或证明题
1. 设矩阵
?3? A???k?4??2???1k? 2?3??－1
2(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵？
(2)求出P及相应的对角矩阵。
参考答案：
??111???(1)k = 0; (2)P??200?,?021?????1???????1?
?1???2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是
A*的一个特征值。 参考答案： 略
3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
?ax1?x2?x3?1? ?x1?ax2?x3?a
?x?x?ax?a223?1参考答案：
a?11(a?1)2,x2?,x3?. 当a?1,?2时有唯一解：x1?? a?2a?2a?2?x1?1?k1?k2? 当a?1时，有无穷多解：?x2?k1
?x?k2?3 当a??2时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
?1??0??3??2??1?????????????1??3??0??1???1??1???,?2???,?3???,?4???,?5???
21752???????????4??2??14??6??0???????????参考答案：
极大无关组为：a1,a2,a4，且a3?3a1?a2，a5??a1?a2?a4 5. 若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：AB?BA是对称矩阵．
参考答案： 略。 证明：
∵A是对称矩阵 ∴A^T=A
∵B是反对称矩阵 ∴B^T=-B
∴(AB-BA)^T=B^T*A^T-A^T*B^T=-BA-A(-B)=AB-BA ∴AB-BA是对称矩阵
山东大学线性代数A
