1.2 集合间的基本关系
【素养目标】
1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象) 【学法解读】
1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念．
2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符合语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 子集、真子集的概念
1．子集的概念
定义 记法与读法 图示 或 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记作__A?B__(或__B?A__)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A． (2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C． 2.真子集的概念 定义 记法 图示
如果集合A?B，但存在元素__x∈B__，且__x?A__，就称集合A是集合B的真子集 记作AB(或BA)
结论 (1)AB，BC，则AC． (2)A?B且A≠B，则AB． 思考1：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？ (2)符合“∈”与“?”有什么区别？
提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． (2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N. ②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“?”的两边均为集合．
知识点2 集合相等
自然语言 符号语言 图形语言 思考2：怎样证明或判断两个集合相等？ 提示：(1)若A?B且B?A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A?B与B?A均成立．
(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．
知识点3 空集 定义 记法 规定 特性 不含任何元素的集合叫做空集 ? 空集是任何集合的子集，即??A (1)空集只有一个子集，即它的本身，??? (2)A≠?，则?A 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． A?B且B?A?A＝B 思考3：?，0，{0}与{?}之间有怎样的关系？ 提示：
?与0 ?与{0} ?与{?}
相同点 都表示无的意思 都是集合 ?不含任何元素；都是集合 ?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是? ?{?}或?∈{?} 不同点 ?是集合；0是实数 {0}含一个元素0 关系 0?? 知识点4 Venn图
?{0} 在数学中，经常用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
注意：1.用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系．
A?B??
??AB ?A≠B?
B?A??
??BA ?B≠A?
A?B??
??A＝B ?B?A?
ABBA
2．Venn图适用于元素个数较少的集合． 思考4：Venn图的优点是什么？ 提示：形象直观．
基础自测
1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有( D ) A．M＜N C．N?M
B．M∈N D．MN
[解析] ∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D． 2．下列四个集合中，是空集的为( B ) A．{0}
C．{x∈N|x2－1＝0}
B．{x|x>8，且x<5} D．{x|x>4}
[解析] x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：1.2 集合间的基本关系 (含解析)
