湖南省首届大学生理论力学竞赛试题答案
计算题
?1. 图8示均质箱体A的宽度b?1m，高h?2m，重WA?200kN。放在倾角??20的斜面上。
箱体与斜面之间的摩擦系数f?0.2。今在箱体的C点系一软绳，方向如图示，绳的另一端通过滑轮O挂一重物E；已知BC?a?1.8m，绳重、滑轮重及绳与滑轮之间的摩镶均不计。试问E多重，才能保证箱体处于平衡状态。(15分)
解：本题中箱体A在力系作用下应有四种可能的运动趋势：向下滑动，向上滑动，向下绕左下角倾翻和向上绕右下角倾翻。下面分别计算处于四种临界运动时，对应的重物E的重量WE。
(1)向下滑动的临界状态，摩擦力F应向上，其值F?Fmax?fN，取箱体为研究对象，受力图如(b)，列平衡方程
?X?0,Tcos30??WAsin20??F?0?Y?0,Tsin30?WAcos20?N?0解得
??b
CD30?AaEsin20??fcos20?T?WA?39.9kN ??cos30?fsin30即当WE1?T?39.9kN时，箱体处于向下滑动的临界状态。
h?图8(2)处于向上滑动的临界状态时，摩擦力F方向应沿斜面向下，F?Fmax?fN 箱体受力图与图(b)相仿，仅F方向应向下，在(1)、(2)式中摩擦力投影相差一个负号，故
sin20??fcos20?T?WA?109.7kN ??cos30?fsin30(3)处于向下倾翻的临界状态时，斜面对箱体的约束反力将集中于左下角B1点，箱体的受力图如(c)。列平衡方程求解：
?mB1(F)?0,Tsin30?b?Tcos30?a?WAsin20?hb?WAcos20??0 22bcos20??hsin20?WAT???24.14kN
bsin30??acos30?2负号表明T应变为推力才能使箱体向下翻倒。由于软绳只能传递拉力，因此箱体没有向下倾翻的可能性。
(4)处于向上倾翻的临界状态时，斜面对箱体的约束反力将集中于右下角B点。将图〔c〕中的N、F挪至B点，即为此状态时的受力图(不另画)。列平衡方程求解
?mB(F)?0,?Tcos30?a?WAsin20?hb?WAcos20??0 22bcos20??hsin20?WAT??104.2kN
acos30?2综上所述，WE1?39.9kN、WE2?109.7kN、WE4?104.2kN时，箱体分别处于下滑、上滑、上
翻的临界状态。因而可得出结论，当
39.9kN?WE?104.2kN
时，箱体A处于平衡状态。当箱体A在上滑或下滑的临界状态时，法向反力N必在B和B1之间；当箱体在上翻的临界状态时，F?fN。
TyC30?WAxB1FNB
TyC30?WAxB1BNF(b) (c)
2. 图9示机构在同一铅垂面内运动，在某瞬时达到图示位置，O1B杆水平，B、D、O三点在同一铅垂线上，杆BCH的CH段水平，EC?CH，A、B、C处均为铰链连接，杆ECH通过套筒A与三角形ABD相连。轮O的半径为r，BD?AB?AD?2r，O1B?r。轮沿地面只滚不滑，轮心速度为vO?常数。求此瞬时ECH杆的速度和加速度。（14分）
解：机构中O1B杆作定铀转动，三角形ABD作平面运动，轮OO作平面运动，ECH杆平动。B、D点处无相对运动，A点处存在相对运动，因此在AA点处应当用点的合成运动方法解题。先求出三角形上A点的速度和加速度。
轮O的速度瞬心在PO处，则D点的速度vD?2vO。三角形上B点的速度沿铅垂方向，B、D两点的速度垂线交点与B点重合，因此B点是此瞬时三角形ABD的速度瞬心。A点的速度方向应当与BA线垂直，由于BD?AB，所以
BEvA?vD?2vo
2vv?ABD?O?o
2rr轮O的中心点O的轨迹为直线，加速度为零。轮O的角速度 v?O?O?常数?O?0 r以O点为基点求得D点的加速度
n?aD?aO?aDO?aDO 2vOaD??r?(?)。
r2OO1ADOCHvOO1得
图9由于vB?0，所以B点只能有铅垂方向的切向速度， 可以直接判断出aBD?0，即?ABD将上式向x、y轴投影
?nn?aB?a??a?a?aBDBDBD
?0。再以D点为基点求A点的加速度
naA?aD?aAD?a?AD
23vOcos30??r?2OaAx??2r?aAy??2O2ABDv2v2?2r?ABDsin30???rr
最后用运动合成的方法分析A点处的速度和加速度。
动点：三角形上的A点。 动系：ECH杆。 静系：机架。
绝对运动：平面曲线运动。 相对运动：直线运动。 牵连运动：平动。
速度分析：速度合成定理
va?ve?vr
矢量等式向水平x轴投影，得
vAcos60??ve,vECH?ve?vO加速度分析：加速度合成定理
(?)。
aa?ae?ar
矢量等式向水平x轴投影，得
aAx?ae23vO ae??r负号表示ae的实际指向与x轴正向相反。
3. 图10示半径均为r的两个圆柱l、2，用不可伸长的绳子相连，绳子一端与圆柱1的中心连接，另一端多圈缠绕在圆柱2上(绳与滑轮A的重量不计)。1为均质实心圆柱，其质量为m1，2为均质空心薄壁圆柱，质量为m2。设圆拄2铅直下降．圆柱l沿水平面只滚不滑，且滚动摩擦不计。试求，
(a) 两个圆柱质心的加速度。
(b) 圆柱1沿水平面只滚不滑时，其与支承面之间的滑动摩擦系数f应为多少?（15分）
r解(a) 去圆柱2为研究对象，受力如图示。由运动学可知 1AvC?vO?r?2即
aC?aO?r?2
Ov?vO?2?Cra?aO?2?C
rrC2又由平面运动微分方程，有
10 (1) m2aC?m2g?T 图JC?2?Tr (2)
将JC?m2r2及?2代入（2），得
m2(aC?aO)?T (3)
再取圆柱1为研究对象，受力如图示。对瞬心CV点写出动量矩定理
(JO?m1r2)?1?T?r
因圆柱1只滚不滑，故有?1?aOr，且JO?m1r22，T??T，于是上式成为
3m2aO?T (4) 2将(4)代入(3)，得
m2(aC?aO)?解得
3m1aO 2?3?m2aC??m1?m2?aO
?2?3?3?m?ma?mg?m1aO ?12?O22?2?m21aO?g
3m1?m2T?3m1m2g
2(3m1?m2)将上式和(4)一起代入(1)，得
解得
由（4）求得
P1rOaoT?A将T代入(1)，得
CVFNTC?2?2rP223m1?2m2g。 aC2(3m1?m2)(b)求圆柱1沿水平面只滚不滑时的滑动摩擦系数f，以圆柱1为研究对象，根据质心运动定理，有
m1aO?T??F (5) 0??P1?N (6)
因T??T，由(5)得 m1aO?T?F
将aO及T之值代入上式，求得
m1m2F?g
3(3m1?m2)aC?由（6）得
N?P1?m1g
欲使圆柱1只滚不滑，必须是F?fN，所以，
解得
m1m2g?fm1g
2(3m1?m2)m2。 f?2(3m1?m2)
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