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数学归纳法错解分类剖析
作者：史立霞 秦振
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2011年第08期
数学归纳法是论证与自然数有关的一类命题的重要方法.运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，缺少第一步递推就没有了基础；缺少了第二步递推就没有依据，只有两步都完成后，才能断定所证的命题是正确的.下面就同学们在解题中的错误进行分类剖析供大家参考. 一、概念不清
例1 若n∈N*，判断f(n)＝n2＋n＋17的值是否是质数.
错解:用数学归纳法证明：当n＝1时，f(1)＝19是质数.当n＝2时，f(2)＝23是质数.当n＝3时，f(3)＝29是质数.当n＝4时，f(4)＝37是质数.由此可得，当n∈N*时，f(n)＝n2＋n＋17的值是质数.
分析:错解混淆了数学归纳法与不完全归纳法，我们知道用不完全归纳法得到的结论不一定正确，因此错解所得结论也可能是错误的.
正解:用不完全归纳法证明：当n＝16时，f(16)＝162＋16＋17＝17当n∈N*时，f(n)＝n
2＋n＋17的值不一定是质数.
2，不是质数.所以
二、缺少第一步，即没有归纳基础
例2 已知f(n)＝13n3＋12n2＋16n＋12，试判断对哪些正整数n，f(n)为整数. 错解:若f(k)＝13k3＋12k2＋16k＋12为整数，则由f(k+1)＝13(k+1)3＋12(k+1)2＋16(k+1)＋12＝f(k)＋k2＋2k＋1，可知f(k+1)也不为整数.∴对一切正整数n，f(n)都不为整数. 分析:错解在运用数学归纳法的过程中，缺少第一步，即没有归纳基础，因而是错误的. 正解:（1）当n＝1时，f(1)＝32，不是整数.
（2）假设n＝k时，f(k)＝13k3＋12k2＋16k＋12不是整数，则由f(k+1)＝13(k+1)3＋12(k+1)2＋16(k+1)＋12＝f(k)＋k2＋2k＋1，可知f(k+1)也不为整数. 由（1）（2）可知，对一切正整数n，f(n)都不为整数. 三、第一步不完整
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例3 用数学归纳法证明:
11?2+12?3+13?4+…+1n(n+1)＜n（n∈N
*）.
错解:（1）当n＝1时，12＜1，不等式成立.
（2）假设n＝k时不等式成立，即11?2+12?3+…+1k(k+1)＜k.当n＝k＋1时，两边同加上1(k+1)(k+2)，得11?2+12?3+…+1k(k+1)＋1(k+1)(k+2)＜k＋1(k+1)(k+2).下面只需证k＋1(k+1)(k+2)＜k+1即可.k+1－k＞1(k+1)(k+2)1k+1+k＞1(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)＞k+1＋k k+1(k+2－1)＞k.即k≥2成立，即n＝k＋1时，不等式成立. 由（1）、（2）得不等式对n∈N*都成立.
分析:错因是，第二步n＝k＋1成立要求k≥2，即要求n＝2时不等式成立.因此第一步是不完整的，必须依次验证当n＝1和n＝2时不等式是成立的. 正解:在上面错解（1）中只要补上n＝2时，不等式成立即可. 四、没有用归纳假设
例4 用数学归纳法证明:对于n∈N
*，都有12＋122＋12
3＋…＋12n＝1－(12)n.
错解:（1）当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立.
（2）假设当n＝k时，命题成立，即12＋122＋123＋…＋12k＝1－(12)k； 当n＝k＋1时，12＋12
2＋123＋…＋12k＋12
k+1＝1－(12)
k+1.
∴当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）、（2）得不等式对n∈N*都成立.
分析:本题实际上就是应用数学归纳法证明等式成立，由于没有理解题意，在第二步，直接利用等比数列求和公式，而没有利用“归纳假设”，这就失去了递推依据，违背了数学归纳法原理.
正解:（1）同上.
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（2）假设当n＝k时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k＝1－(12)k；当n＝k＋1时，12＋122＋123＋…＋12－12
k+1＝1－(12)
k＋12
k+1＝1－(12)k＋(12)
k+1＝1－2
k+1.∴当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）、（2）得不等式对n∈N*都成立. 五、不推理直接套用
例5 若an＝1?2＋2?3＋…＋n(n+1)(n∈N*),求证：n(n+1)2＜an＜(n+1)22对于所有n∈N
*都成立.
错解:（1）当n＝1时，a1＝2，1×(1+1)2＜2＜(1+1)22，即n＝1时结论成立. （2）假设n＝k时，结论成立，即k(k+1)2＜ak＜(k+1)22.当n＝k＋1时，a＝ak ＋(k+1)(k+2)＞(k+1)(k+2)2，又a＋1时，结论也成立.
由（1）、（2）知，对一切n∈N*，不等式成立.
分析:错误出在（2）中，从n＝k成立，证明n＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论，这样是不符合数学归纳法要求的. 正解:（1）同上.
（2）假设n＝k时，结论成立，即k(k+1)2＜ak＜(k+1)22；对n＝k＋1，a＝ak ＋(k+1)(k+2)＞(k+1)(k+2)＋k(k+1)2＞k(k+1)2＋（k＋1）＝(k+1)2；又aak＋(k+1)(k+2)＜(k+1)22＋(k+1)(k+2)＝(k+1)22＋k(k+2)22＝22，∴当n＝k＋1时，结论也成立. 由（1）、（2）知，对一切n∈N*，不等式成立. 六、不会确定项数
例6 当n∈N*且n≥2，求证:1＋12＋13＋…＋12
n－1＜n
k+1k+1＝
k+1
k+1＝ak＋(k+1)(k+2)＜(k+22)2，∴当n＝k
2+3k+2＜(k+1)22＋(k+32)2＝
错解:（1）当n＝2时，不等式左边＝1＋12＋13＝156＜2，不等式成立.
（2）假设n＝k（k≥2）时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1＜k，两边都加上12
k+1－1有1＋12＋13＋…＋12k－1＋12
k+1－1＜k＋12
k+1－1＜k＋
1，即不等式当n＝k＋1时也成立.
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