高等数学A（上）考试
一．函数的定义域，函数的复合（包括分段函数）
1. 函数y?arccos(2sinx)的定义域为 ． 2. 设f(x)?1?x,则f(0)?1?x,f(?x)?1,f()?x.
3. 设f(x)???1?x?0?1,,则f(x?1)??x?1,0?x?2..
二．函数的极限：两个重要极限，等价无穷小的替换，无穷小的性质，洛必达法则，含变限积分的极限
1. 已知当x?0时，1?1?ax与x是等价无穷小，则常数a? .
22 “当x?x0时，f(x)?A是一个无穷小量”是“函数f(x)在点x?x0处以A为极限”的（C）
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要的条件
C.充分必要条件 D.无关条件
lim2.
x?0xln?1?x??1?cosx .
3x33.
?x?2?lim?3??x??x?3?? .
x1x4. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限： lim?e?x?;
x?05. 利用洛必达法则，求下列极限：
12x (1) lim(?arctanx); (2) lim(1?sinx)x;
x?0x???π6. 求下列含变限积分的极限：
x2t?edt?ln(1?2t)dt???0?.
(1)lim0； (2)limx32x?0x?02tx?tedtx220
三．函数连续性的判断（包括分段函数），间断点的类型
?x2?c2,x?4,1. 若函数f(x)??在???,???上连续，则常数c的值为 .
?cx?20,x?4e2x?a2. 已知x?0是函数y?的第一类间断点，则常数a的值为 .
x1?1?2ex?,x?0,?13. 设函数f(x)??则x?0是函数f(x)的（ ）.
x?2?e?x?0,?2,A.可去间断点 B.跳跃间断点
C.无穷间断点 D.连续点
四．无界函数与无穷大量，函数连续与可导，函数可导与可微，可导函数极值点与驻点，函数连续与可积，函数有界与可积等基本概念之间的关系
11cosx是（ ） 1. 当x?0时，x A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量
?x2,2. 设函数f(x)???ax?b,a,b应取什么值？
x?1,为了使函数f(x)在x?1点处连续且可导，
x?1.
五．一阶导数和微分的求法，包括参数方程，隐函数，变限积分的导数，简单抽象函数的导数
1. 设f?(x)?1?x4，y?f(e)，则dyy2xx?0? .
x?02. 设y?y(x)是由方程e?sinx?y?1确定的隐函数，则dy? .
1??xarctan2,x?0,3. 已知函数f(x)??则f?(0)? . x?0,x?0,?4. 求下列函数的导数：
(1) y?e; (2) y?arctanx;
3x2(5) y?x2?sin123； (6) y?cosax（a为常数）； 2x11?x5. 求函数y?ln的反函数x??(y)的导数.
21?xt?πdy?x?esint,6. 已知?求当t?时的值.
t3dx??y?ecost,7. 求下列隐函数的导数：
(1) x?y?3axy?0； (2) x?yln(xy)； 8. 利用对数求导法，求下列函数的导数：
33(1)y?x?2?(3?x)4cosx(2)y?(sinx); ( ;5(x?1)lnx； xlntanx9. 求下列函数的微分：
⑴ y?xe； ⑵ y?x⑵ y?cosx； ⑷ y?5；
10. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和?均为可微函数：
⑴ y?f(x??(x))； ⑵ y?f(1?2x)?3sinf(x).
1x?111. 若f()?ex，求f?(x).
x3412. 计算下列导数：
dx3dtdx22 (1)?1?tdt； (2)?2dxx1?t4dx0
六．中值定理的内容，函数单调性的判断和应用，不等式的证明，极值和最值问题的应用，凹凸区间和拐点的求法，法线方程和切线方程
1. 过点(3，8)且与曲线y?x相切的直线方程为 .
?x2. 曲线y?e?3x?1在点（0，1）处的切线方程为 和法线方程
2为 .
?x3. 曲线y?(x?1)e的拐点坐标为 ?1,? .
?2??e?4. 曲线y?xln?e???1???x?0?的斜渐近线方程为 . x?y?5. 曲线
4x?1(x?2)2（ ）.
A.只有水平渐近线 B.只有铅直渐近线
C.没有渐近线 D.有水平渐近线也有铅直渐近线 6. 已知极限limx?0x?arctanx?c，其中k,c为常数，且c?0，则（ ） kxA.k?2,c??11 B.k?2,c? 22131 38 (x?0)； xC.k?3,c?? D.k?3,c?7. 确定下列函数的单调区间：
(1) y?2x?6x?18x?7； (2) y?2x?
8. 证明下列不等式: 微分中值定理 函数的单调性与凹凸性 (1) 当0?x?
32函数单调性判别法
π时， sinx?tanx?2x; 2?xx2.(2) 当0?x?1时， e?sinx?1?2
(3)证明：不等式x?ln?1?x??x1?x?x?0?；
(4)设a?b?0，证明：a?b?lna?a?b
abb
9. 求下列函数的极值:
(1) y?2x?6x?18x?7； (2) y?x?ln(1?x)； 10. 求下列函数的最大值、最小值：
32(1) f(x)?x2?54, x?(??,0)； (2) f(x)?x?1?x, x?[?5,1]； x11. 在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.
12. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状，设截面积为am2，问底宽x为多少
时，才能使所用建造材料最省? 13. 判定下列曲线的凹凸性：
1(1) y?x? (x?0)； (2) y?xarctanx.
x14. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
xlnx?ylny?(x?y)ln2x?y (x?0,y?0,x?y). 2315. 求曲线 x?t,y?3t?t的拐点： .
七. 不定积分的性质，用第一类换元法和分部积分法求不定积分和定积分
1. 设函数f(x)与g(x)在(??,??)内皆可导，且f(x)?g(x)，则必有（ ）. A.limf(x)?limg(x) B.f?(x)?g?(x)
x?x0x?x0C.df(x)?dg(x) D.2. 利用基本积分公式及性质求下列积分：
?x0f(t)dt??g(t)dt
0xx22x(1)?dx; (2)sin?2dx; 1?x2(3)?secx(secx?tanx)dx； (16)?3. 利用换元法求下列积分：
1dx;
1?cos2x(1)?(3)?sinx?cosxdx; (2)?cos3xdx;
3sinx?cosxdxdx(4); ?1?2x; ex?e?x(5)?x2?9dx; x(6)?dx(x?1)23;
4. 用分部积分法求下列不定积分：
(1)?x2sinxdx; (3)?xlnxdx;
5. 利用被积函数奇偶性，计算下列积分值（其中a为正常数）
?a?aln(x?1?x2)dx;
6. 计算下列积分： (1)?e21πdxsinxdx； ； (2)?401?sinxx1?lnx
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