1.证明：对于单步二叉树模型而言，0 必要性：利用反证法进行证明，假设1+rT<=d,则在0时刻以利率r借入S数量的资金购买1单位股票，则在T时刻，若股价上涨有uS>(1+rT)S,若股价下跌有dS>(1+rT)S，即无论上涨还是下跌，均存在套利机会，故假设不成立。因此d<1+rT;同理，若1+rT>u,亦可构造无风险套利，所以1+rT 充分性：需证明当0 ??}????=??????????{ S??=????=?? ????=??????????{ S??=????}= 1+??????? ????????1????? ?????易知 0 ?? E(Φ??)=????Φ????+????Φ??= 1+???????????? (α S0??+?? ??0(1+????))+ ???1?????????? (α S0??+?? ??0(1+????))= (1+????)Φ0=0. ?????? 即????Φ????+????Φ??=0，因为0 2.阐述现实世界和风险中性世界的区别与联系。 现实世界和风险中性世界是同一个世界，对应的是同一个样本空间，它包含了金融市场上所有可能的感兴趣的未来状态的集合。不同的是，现实世界和风险中性世界对这些集合（表示事件）中随机事件发生的概率的看法不一致，对必定发生和必定不发生的事件的概率看法仍然是一致的，即现实世界和风险中性世界的概率测度是等价的。因为在现实世界，证券（包括股票/债券/期权等衍生产品）价格是唯一确定的，在风险中性世界，证券价格也是唯一确定的，因为是同一个世界，证券价格是确定的事件，因此风险中性世界中的证券价格必定等于现实世界中的证券价格，所以在风险中性世界对证券进行定价。 风险中性世界通过状态价格消除了不同状态的证券风险溢价，因此证券的期望收益率等于无风险利率，或者说收益期望值贴现的利率等于无风险利率，状态价格对应为风险中性概率。 在现实世界中，投资人所承受的风险越大，他们所要求的回报回越高；而在风险中性世界中，投资风险增长时，投资人并不要求额外的预期回报率。尽管这两个世界差别很大，但我们给出的衍生品价格不但在风险中性世界中是正确的，在我们所生活的世界里也是正确的。这是因为当我们利用标的资产的价格对期权定价时，投资人对风险的态度是不重要的。当投资人对风险更加厌恶时，股票价格将会下跌，但是将期权价格与股票价格联系起来的公式是不变的。 3.什么是风险中性定价？ 风险中性原理是指：在以状态价格消除了风险溢价后的风险中性世界中，投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率对应的都是无风险收益率，风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。在风险中性的世界里将风险中性概率下的期望值用无风险利率折现可以获得现金流量的现值。根据这个原理在期权定价时只要先求出期权执行日价值的风险中性概率下的期望值，然后用无风险利率折现求出期权的现值，即为期权在风险中性世界里的价值，它等于现实世界里的期权价格。这就是风险中性定价原理。 4.已知标的股票当前价格为50美元，期权的执行价格为52美元，无风险年利率为5%，每半年股票价格或者上涨20%，或者下跌20%。利用两步二叉树分别计算1年期欧式和美式看跌期权价格，并指出看跌期权中是否存在节点会提前执行期权。 由题意u=1.2，d=0.8，K=52，T=1，r=0.05 B.60 A.50 C.40 E. 72 F. 48 G.32 计算得： ??????/???????0.05×0.5?0.8??===0.5633 ?????1.2?0.8 对于欧式看跌期权而言，一年后，股票价格有三种可能，分别是E.72美元，F.48美元和G.32美元，只有第一种情况会行权，内在价值为72-52=20美元。根据公式，有： ??=???????(??2??????+2??(1???)??????+(1???)2??????=???0.05(0.56332×20)=6.04 对于美式看跌期权而言，需要考虑在第一步是否提前执行的情形，在第一步，股票价格为B.60美元和C.40美元，若提前行权，在获得的期权价值分别为60-52=8美元和0美元，若继续持有，则从E，F算得B点期权的内在价值为， ???0.05×0.5(0.5633×(72?52)+0.4367×0)=10.98>8,故B点不会提前行权。 另外，C点提前行权的价值为0，也不会提前行权。 5. 1澳元的现值为0.99美元，汇率的波动率为12%，澳元的无风险利率为3.50%，美元的无风险利率为1.07%。假设执行价格为1，利用两步二叉树计算2月期美式期权价格。 因为： ?t?1/12?0.0833,u?e0.12?0.0833?1.0352 d?1/u?0.9660,a?e(0.035?0.0107)?0.0833?1.0020 1.0020?0.9660p??0.5202 1.0352?0.9660 相应的二叉树表示如下： 6.若股票价格服从两步二叉树过程，解释为什么用股票和期权构造的交易组合不可能在整个有效期内一直保持无风险。 每步二叉树利用期权和股票对冲形成无风险组合的Delta不是常数，所以组合不可能对两步均是无风险，即股票和期权组合需要动态对冲 7.若利率r是按复利计算，推导风险中性概率q的表达式，以及参数u和d以波动率表示的公式。 根据波动率的定义——股票价格在单位时间内收益率的标准差,可知一步二叉树对应的股票价格收益率的方差为: ??2????=????2+(1???)??2?{????+(1-??)??}2 (10.16) 将式(10.15)代入式(10.16)可以得到一个方程,但不能确定两个未知数u和d, 需要额外一个方程。CRR(1979)令ud=1。注意到当Δt很小时,在运算中可以忽略了Δt的大于1阶的高阶项,则容易验证方程(10.16)的一组解为: u=????√????,d=?????√???? (10.17) 在风险中性世界考虑定价过程,则第一步末期股票价格的期望满足 ??0???????? =????0??+(1???)??0?? 从而有 q= erΔt-du-d 8.甲乙两只股票当前的价格均为10元，3个月后甲股票的价格有两种可能：上涨20%，下跌20%：乙股票的价格也有两种可能：上涨10%，下跌10%。已知：年无风险利率为10%。试分别计算甲乙两只股票的看涨和看跌平价期权价格。你能从价格中发现什么吗？ 由题可得??0=10,K=10,Δt=0.25,??=0.1,??甲=1.2,??甲=0.8,??乙=1.1,,??乙=0.9 三个月后，甲股票价格可能为12元或10元，对应期权价值为??甲u=2元或??甲d=0元；乙股票价格可能为11元或9元，对应期权价值为??乙u=1元或??乙d=0元。风险中性概率
《衍生金融工具》(第二版)习题及答案第10章
