专题26 排列组合、二项式定理
考纲解读明方向 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度 (1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分步乘法计数2017天津,14; 原理; 2016课标全国②会用分类加法计数原理或分步乘法计数Ⅱ,5; 计数原理、原理分析和解决一些简单的实际问题 掌握 2016课标全国选择题 ★★☆ 排列、组合 (2)排列与组合 Ⅲ,12; ①理解排列、组合的概念; 2015四川,6; ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数2014安徽,8 公式; ③能解决简单的实际问题 分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.2.理解排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考查时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出现在解答题的第一问中,难度中等或中等偏上. 考点
内容解读 能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理的应用 二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 考点 要求 高考示例 常考题型 预测热度 2017课标全国Ⅰ,6; 选择题 掌握 2016课标全国Ⅰ,14; ★★★ 填空题 2015课标Ⅰ,10
分析解读 1.掌握二项式定理和二项展开式的性质.2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题.3.二项展开式的通项公式是高考热点.本节在高考中一般以选择题或填空题形式出现,分值约为5分,属容易题.
2018年高考全景展示 1．【2018年全国卷Ⅲ理】
的展开式中的系数为
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
2．【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260
【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为因此一共有
若取零，则排列数为个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 3．【2018年浙江卷】二项式【答案】7
【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.
的展开式的常数项是___________．
详解：二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第
项，再由特定项的特点求出值即可.
项，由特定项得出
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第值，最后求出特定项的系数. 4．【2018年理数天津卷】在【答案】
的展开式中，的系数为____________.
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
5．【2018年理新课标I卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16
【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果. 详解：根据题意，没有女生入选有
种选法，从6名学生中任意选3人有
种，故答案是16.
种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有
点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
2017年高考全景展示 1.【2017课标1，理6】(1?A．15 【答案】C
16展开式中的系数为 )(1?x)2x
C．30
D．35
B．20
【考点】二项式定理
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.
2.【2017课标3，理4】?x?y??2x?y?的展开式中的系数为
33
5A．?80B．?40C．40
【答案】C 【解析】
D．80
试题分析：?x?y??2x?y??x?2x?y??y?2x?y?，
r由?2x?y? 展开式的通项公式：Tr?1?C5?2x?555?r555??y?r 可得：
3333当r?3 时，x?2x?y? 展开式中xy 的系数为C5?22???1???40 ， 332当r?2 时，y?2x?y? 展开式中xy 的系数为C5?23???1??80 ，
5233则xy 的系数为80?40?40 .
故选C.
【考点】 二项式展开式的通项公式
【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
3.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不
同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D
【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理
【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。
4.【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660 【解析】
411411试题分析：由题意可得：总的选择方法为C8?C4?C3种方法，其中不满足题意的选法有C6?C4?C3种方411411法，则满足题意的选法有：C8?C4?C3?C6?C4?C3?660种．
【考点】排列组合的应用
【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
5432132
5.【2017浙江，13】已知多项式?x?1??x?2?=x?a1x?a2x?a3x?a4x?a5，则=________，=________．
【答案】16，4 【解析】
rrmm试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：C3xC2x，分别取r?0,m?1和r?1,m?0可得32a4?4?12?16，令x?0可得a5?1?2?4
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题26排列组合二项式定理理含解析91
