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6.3等比数列及其性质
学习目标：
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.了解等比数列与指数函数的关系,能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能解决相应的问题．
自主梳理
1．等比数列的定义:(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
(2)若________________，那么G叫做a与b的等比中项, 并非任何两数总有等比中项.仅当实数a,b同号时，实数a,b存在等比中项.对同号两实数a,b的等比中项不仅存在，而且有一对G??ab.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)；
2．等比数列的有关公式: 等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)通项公式：an＝________，an＝am___ (m，n∈N*)．(2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________.
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n
3．性质：①an=cq，即an是n的类指数型函数，系数c为即Sn是n的类指数型函数，其中a?a1n；q?1时，Sn?a?aq，qa1n，q的系数与常数项互为相反数； 1?qa1an?a2an?1?a3an?2??；aman?apaq，②当m+n=p+q时，特例：当2n=p+q时， an2?apaq；{bn}均为等比数列，则{|an|}、{an1?(k?1)m}、{kan}、{an?bn}成等比数列； ③若{an}、④公比不为-1的等比数列中依次k项和成等比数列，即Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列，且公比为q(q是原数列公比)；若q= -1，则n为偶数时，上述性质不存在；
⑤有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则S偶＝S奇?q；若总项数为奇数，则S奇＝a1?qS偶；
⑥等比数列的单调性：等比数列的单调性受首项a1和公比q两个元素影响，可列表如右图所示：
4.判定数列是否等比数列的方法：
①定义法；②中项公式法；③通项公式法；④前n项和公式法；(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这五种形式)，但解答题中只能用前两种：定义法与中项公式法. 5.等差数列与等比数列的联系：
a(1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{An}(An总有意义) 必成等比数列.
ak(2)如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a?0,a?1)必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列；但数列
{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
探究点一 等比数列的有关概念与基本量运算:
【例1】设公比大于0的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1?1,S4?5S2,数列{bn}的前n
2*项和为Tn,满足b1?1,Tn?nbn,n?N.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;(2)设
Cn?(Sn?1)(nbn??),若数列{Cn}是单调递减数列，求实数?的取值范围.
变式训练1：已知数列{an}是递增的等比数列，满足a1=4，且
的等差中项，
数列{bn}满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式;（2）数列{an}的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
探究点二 等比数列的判断与证明:
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【例2】已知数列{an}和{bn}满足a1??,an?1?2an?n?4,bn?(?1)n(an?3n?21),其中3?为实数，n?N*.(1)对于任意实数?，证明:数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是
否为等比数列，并证明你的结论.
变式迁移2 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*. (1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.
探究点三 等比数列性质的应用:
【例3】（1）已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9的值为 。
（2）在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
变式迁移3（1）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44的值为 。
（2）(2014江苏)在各项均为正数的等比数列中，a2?1,a8?a6?2a4,则a6? .
探究点四 等差数列与等比数列的综合应用:
【例4】根据如图的程序框图，将输出的x,y值依次分别记为x1,x2,?,x2013；
y1,y2,?,y2013（1）写出数列?xn?,?yn?的通项公式；（2）求
.
Sn?x1?y1?1??x2?y2?1????xn?yn?1?(n?2013)a.
变式迁移4. 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2n}的前n项和Sn.
当堂检测
1．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 ( )
A．3 B．1 C．0 D．－1
＋n
3．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋231 (n∈N*)，则f(n)等于( )
22＋2＋2＋A.(8n－1) B.(8n1－1) C.(8n2－1) D.(8n3－1) 7777
4．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
11111
5．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3.
a1a2a3a4a5
6. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
A案
1. （2012全国）已知{an}为等比数列，a4?a7?2,a5a6??8,则a1?a10?( )
A.7 B.5 C.-5 D.-7
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语文版中职数学拓展模块6.3等比数列的性质
