2020版高中数学章末检测试卷（三）（含解析）新人教B版选修2 - 1

???

n→2·AB1＝0，

??n→2·AC＝0，

又AB→

1＝(0,1,2)，

得???

y＋2z＝0，?2x＝0

不妨设z＝1，可得n2＝(0，－2,1)．

?

，因此有cos〈n1·n21，n2〉＝

n|n||n＝－10

，

12|10

于是sin〈n310

1，n2〉＝10

.

所以，平面ACD310

1与平面ACB1的夹角的正弦值为10.

(3)解 依题意，可设A→→

1E＝λA1B1，其中λ∈[0,1]，

则E(0，λ，2)，从而→

NE＝(－1，λ＋2,1)，又n＝(0,0,1)为平面ABCD的法向量，由已知，得cos〈→

→NE，n〉＝NE·n

|→NE||n|＝

1

－12＋λ＋22＋12

＝13

， 整理得λ2

＋4λ－3＝0，

又因为λ∈[0,1]，解得λ＝7－2， 所以，线段A1E的长为7－2.

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