章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a＝(1,3，－2)平行的一个向量的坐标是( )
?1?A.?，1，1? ?3??13?C.?－，，－1? ?22?
考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 B
3??1
B.?－，－，1?
2??2D．(2，－3，－22)
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( ) 32
A.B.C.3D．32 22答案 B
→|OA·n|2
解析 两平面间的距离d＝＝. |n|2
3．设i，j，k为单位正交基底，已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于( )
A．－15B．－5C．－3D．－1 答案 A
解析 ∵a＝(3,2，－1)，b＝(1，－1,2)，∴5a·3b＝15a·b＝－15.
4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面
α与平面β的位置关系是( )
A．平行 C．垂直 答案 C
解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
→3→1→2→
5．点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1内一点，且满足AP＝AB＋AD＋AA1，则点P到
423棱AB的距离为( )
B．相交但不垂直 D．不能确定
1
5313145A.B.C.D. 64412答案 A
→→
AP·AB3→→
解析 因为AP在AB上的投影为＝，
→4|AB|所以点P到AB的距离d＝?→→?→2?AP·AB?25
|AP|－＝. ?|→?6?AB|?
6．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( ) A．cosθ＝C．sinθ＝答案 D
解析 若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则
n·a |n||a|n·a |n||a|
|n·a|B．cosθ＝ |n||a||n·a|D．sinθ＝ |n||a|
n·a|n·a|θ＝β－90°或θ＝90°－β，cosβ＝，∴sinθ＝|cosβ|＝.
|n||a||n||a|7．已知直线l的方向向量a，平面α的法向量μ，若a＝(1,1,1)，μ＝(－1,0,1)，则直线l与平面α的位置关系是( ) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直
D．直线l在平面α内或直线l与平面α平行 答案 D
解析 a·μ＝1×(－1)＋1×0＋1×1＝0，得直线l的方向向量垂直于平面的法向量，则直线l在平面α内或直线l与平面α平行．
→→→→→→
8．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC的中点，则△AMD是( ) A．钝角三角形 C．直角三角形 答案 C
解析 ∵M为BC的中点， →1→→
∴AM＝(AB＋AC)．
2
B．锐角三角形 D．不确定
2
→→1→→→∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD
21→→1→→
＝AB·AD＋AC·AD＝0. 22∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
9．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于( ) A．1B．2C．3D．4 答案 B
123
解析 由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2.
λ46
10．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP的夹角为( )
A．30°B．45°C．60°D．90° 答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)， 由题意得，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点， 连接AE，则AE⊥PD.
又∵CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD， 又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP.
→→?11?→→
∴AD＝(0,1,0)，AE＝?0，，?分别是平面ABP，平面CDP的法向量，而〈AD，AE〉＝45°.
?22?∴平面ABP与平面CDP的夹角为45°.
→→→→→→
11.如图所示，四面体SABC中，SA·SB＝0，SB·SC＝0，SA·SC＝0，∠SBC＝60°，则BC与平面SAB的夹角为( )
A．30°
B．60°
3
C．90° 答案 B
D．75°
→→→→→→→→
解析 ∵SB·SC＝0，SA·SC＝0，∴SB⊥SC，SA⊥SC，即SB⊥SC，SA⊥SC， 又SB∩SA＝S，∴SC⊥平面SAB， ∴∠SBC为BC与平面SAB的夹角．
又∠SBC＝60°，故BC与平面SAB的夹角为60°.
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°； ④AB与CD所成的角为60°. 其中错误的结论是( ) A．①B．②C．③D．④ 答案 C
解析 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为2，
→→→→
则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以AC＝(0，－1,1)，BD＝(2,0,0)，AC·BD＝0，
故AC⊥BD.①正确．
→→→
又|AC|＝2，|CD|＝2，|AD|＝2， 所以△ACD为等边三角形．②正确． →
对于③，OA为平面BCD的法向量， →→AB·OA→→
cos〈AB，OA〉＝＝
→ →|AB| |OA|
－1，－1，0·0，1，0
2×1
－12＝＝－. 22
因为直线与平面所成的角∈[0°，90°]， 所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误． →→
AB·CD→→
又cos〈AB，CD〉＝ → →|AB| |CD|
4
＝
－1，－1，0·1，0，－1
2×2
1＝－.
2
因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以AB与CD所成角为60°.故④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为________． 答案
3 15
解析 设α，β所成二面角中较小的一个角为θ， |a·b|
由题意得，cosθ＝|cos〈a，b〉|＝
|a||b|＝
1，1，1·－3，4，0
3×5
＝3. 15
11
14.如图所示，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦
44值为________．
答案
4
13
→→→1→→
解析 设AB＝4，ED＝EA＋AD＝BA＋AD，
4→→ED·BF→→→→1→→→
BF＝BC＋CF＝BC＋CD，cos〈ED，BF〉＝
4→→
|ED||BF|
→??→1→??1→
?4BA＋AD?·?BC＋4CD?
2＋0＋0＋24????
＝＝.
131113×13→?2→→?2?→?
?4BA＋AD?·?BC＋4CD?????
＝
??π??15.如图所示，已知二面角α-l-β的平面角为θ?θ∈?0，??，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在
2????
平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．
5
2024版高中数学章末检测试卷（三）（含解析）新人教B版选修2 - 1
