小升初数学衔接班——列方程解应用题（二）
一、学习目标
1. 通过学习用一元一次方程解决比例问题、增长率问题、年龄问题和数字问题等几种常见问题，继续巩固列方程解应用题的方法。
2. 通过例题的讲解，使学生了解如何检查方程是否正确，学会利用图形和表格等工具分析复杂数量关系，了解特殊的设元方法。
二、学习重点
掌握各种数量关系的分析方法。
三、课程精讲
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1. 知识回顾
上一讲我们学习了列方程解应用题的步骤，知道了解题的关键在于列代数式和找等量关系。
2. 新知探秘
【典型例题】
知识点一 与比和比例有关的设元
例1. 有两个矩形，第一个矩形的长、宽和第二个矩形的长、宽，顺次成5：4：3：2的比。第一个矩形的周长比第二个矩形的周长大72厘米。求这两个矩形的面积。
`
思路导航：此题直接设元不利于列方程，应间接设元。需要注意到这是一个与比和比列
有关的题目，因此可以根据比和比例的特点来设元。
解答：设第一个矩形的长、宽和第二个矩形的长、宽依次为5k厘米、4k厘米、3k厘米和2k厘米，则第一个矩形的周长为2(5k?4k)厘米，第二个矩形的周长为2(3k?2k)厘米，根据题意，得2(5k?4k)?2(3k?2k)?72
解得k?9
5k?4k?45?36?1620（平方厘米）
3k?2k?27?18?486（平方厘米）
答：第一个矩形的面积为1620平方厘米，第二个矩形的面积为486平方厘米。 点津：已知条件中有比和比例的，可以考虑将一份量设为未知数x，这样常可以很方便地表示出多个量，使得解答过程比较简便。
知识点二 利用表格分析数量关系
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例2. 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1。如果将这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原来的数。
思路导航：此题的数量比较多，关系也比较复杂，题目采用文字叙述的方法给出已知条件，我们需要采用其他适合表达这种数量及其关系的方法来重新整理。比如，这道题适合用表格表示。
解答：设原数的十位数字为x，则其他的数量如下表 原数 #百位数字 十位数字 个位数字 2x?1 x x 3x?1 新数 ,
3x?1 2x?1
原数等于100(2x?1)?10x?(3x?1)，新数等于100(3x?1)?10x?(2x?1)，根据解得x?3
题意，得100(3x?1)?10x?(2x?1)?100(2x?1)?10x?(3x?1)?99
100(2x?1)?10x?(3x?1)?738
答：原来的数为738。
点津：有的数量及其关系适合用文字叙述，而有的数量及其关系适合用表格表示，还有的数量及其关系适合用图形来表达。我们应该把它们表示为易于理解的形式。
另外，对于十进制数该如何表示也应该掌握。
仿练、一个三位数三个数字的和是24，十位数字比百位数字少2，如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这个三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒，求原来的三位数。
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思路导航：此题与上一题类型相同，分析方法也相同。 解答：设原三位数的百位数字为x，则其他数量如下表所示 原三位数 新三位数 百位数字 十位数字 ：个位数字 x 24?x?(x?2) x?2 x?2 24?x?(x?2) x 减去的两位数为10x?x，根据题意，得
[100x?10(x?2)?24?x?(x?2)]?(10x?x)
?
?100[24?x?(x?2)]?10(x?2)?x
解得x?9
100x?10(x?2)?24?x?(x?2)?978
答：原来的三位数是978。
例3. 3年前爷爷的年龄是小明年龄的4倍，5年后爷爷的年龄是小明年龄的3倍，求爷爷今年的年龄是多少岁
思路导航：此题是年龄问题，这里涉及到三个时刻两个人，共六个数据，关系比较复杂。但利用表格表示它们就显得比较简单。
解答：设爷爷今年年龄是x岁，则其他数据如下表所示 ] 3年前 今年 5年后 爷爷
x?3 x x?5
小明 …x?3 4 x?5 3根据题意，得解得x?67
x?3x?5?3??5 43答：爷爷今年年龄是67岁。
点津：通过利用表格，将数量关系的分析变为对表格的填空，填写完毕后，再来寻找哪个条件没有用到过，用它列出方程。
…
知识点三 利用韦恩图分析数量关系
例4. 某校100名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，有1人三项都没有参加，问三项都参加的有多少人
思路导航：此题的数量较多，关系也比较复杂，我们可以借助表示集合的韦恩图来表示它们。
解答：设三项都参加的有x人，则既参加语文又参加数学，但不参加外语的有(14?x)人，其他数据见下图，根据题意，得
39?[41?13?(9?x)]?[49?14?(13?x)]?(13?x)?1?100 解得x?6
*
答：三项都参加的有6人。
点津：此题中有8个数据，它们之间的关系比较复杂，但是用合适的韦恩图来表示就比较清楚了。
知识点四 利用图形分析数量关系
例5. 甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米。一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米。求这艘船一共航行多少小时
思路导航：此题应该将甲河、乙河以及船航行的情况画在图上，帮助我们理解题意。
船在两条河流中航行，速度、时间、路程都不相同，但是船在静水中的速度（即船本身的速度）是相同的。
·
解答：设这艘船在甲河中航行了x小时，则船在乙河中的逆水速度为
84千米/时，船在6甲河中的顺水速度为(解得x?7
8484?2?3)千米/时，根据题意，得(?2?3)x?133 66x?6?13（小时）
答：这艘船一共航行了13小时。
点津：用图形来表示数量关系也是很重要的一种分析方法。 此题也可以根据船在静水中的速度相等列出方程：
84133?2??3。但是这个方程的6x分母中含有未知数，不是我们学习过的一元一次方程，它是分式方程，关于它的解法我们以后还要专门学习。
知识点五 如何检查方程是否正确
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一个方程是否解得正确，只要将结果代入左右两边验证即可知道。那么应用题的方程是
否列得正确该如何检查呢只能解出结果后再代入题目中才能验证吗
例6. 随着计算机技术的发展，电脑的价格不断降低，某品牌电脑按原价降低m元后，又降低20%，现售价为n元，设该电脑的原售价为x元。
有A、B、C、D四个同学分别列出了下列方程，其中哪些是正确的哪些是错误的请你帮他们检查一下。
A.(x?m)?20%?n
C.80%x?m?n
B.x?20%?m?n D.(x?m)?(1?20%)?n
思路导航：实际上，要检查方程是否列得正确，只要能正确解释方程左右两边的代数式的实际含义，就能知道两边是否真的相等。
解答：A方程左边，代数式x?m表示原价降低m元后的价格，而(x?m)?20%表示再次降价时减少的部分，并不是降价后的价格，与左边的n当然不相等！ ．．．．．
B方程左边，代数式x?20%表示原价降低m元之前的20%，与题目意思不符合！ :
C方程左边，代数式80%x?m表示降价20%后，再减价m元，而题目顺序相反！
D方程左边，代数式x?m表示原价降低m元后的价格，而(x?m)?(1?20%)表示又降价20%后的价格，当然与n相等。
点津：对列出的代数式的实际含义进行解释，就能检查出代数式是否正确，方程左右两边是否相等。在后续将要学习的用方程组、不等式、函数等工具来解决实际问题的时候，这一方法依然适用。
四、知识提炼导图
五、目标期望
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通过本讲的学习，希望同学们复习巩固数字问题、年龄问题、流水问题、增长率问题等
类型题目中的数量关系，掌握分析数量及其关系的几种方法，了解对比和比例问题的设元。
六、下讲预告
前几讲我们学习的都是代数的内容，下一讲我们将要在小学所学知识的基础上重新来研究几何图形。
【同步练习】（答题时间：35分钟） 1. 火眼金睛：
（1）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是（ ）
,
A. 10岁
B. 15岁
C. 20岁
D. 30岁
（2）甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数之比是7:6，甲用掉50元，乙用掉60元，
二人余下的钱数之比是3:2，则二人余下的钱数分别是（ ）
A. 140元，120元 C. 90元，60元
B. 60元，40元
D. 80元，80元
（3）一个三位数，三个数位上的数字和是16，百位上的数字比十位上的数字小1，个位上的数字比十位上的数字大2，则十位上的数字是（ ）
A. 4 B. 8 C. 7 D. 5
（4）将55分成四个数，如果第一个数加上1，第二个数减去1，第三个数除以2，第四
小升初数学衔接班——列方程解应用题(二)
