同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

证明 因为limun?a? 所以???0? ?N?N? 当n?N时? 有|un?a|??? 从而

n??||un|?|a||?|un?a|?? ?

这就证明了lim|un|?|a|?

n?? 数列{|xn|}有极限? 但数列{xn}未必有极限? 例如lim|(?1)n|?1? 但lim(?1)n不

n??n??存在?

5? 设数列{xn}有界? 又limyn?0? 证明? limxnyn?0?

n??n?? 证明 因为数列{xn}有界? 所以存在M? 使?n?Z? 有|xn|?M?

又limyn?0? 所以???0? ?N?N? 当n?N时? 有|yn|??? 从而当n?N时? 有

n??M |xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?????

M所以limxnyn?0?

n??

6? 对于数列{xn}? 若x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 证明? xn?a(n??)?

证明 因为x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 所以???0? ?K1? 当2k?1?2K1?1时? 有| x2k?1?a|?? ? ?K2? 当2k?2K2时? 有|x2k?a|?? ?

取N?max{2K1?1? 2K2}? 只要n?N? 就有|xn?a|?? ? 因此xn?a (n??)?

习题1?3

1? 根据函数极限的定义证明? (1)lim(3x?1)?8?

x?3 分析 因为

|(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|? 所以要使|(3x?1)?8|?? ? 只须|x?3|?1??

3 证明 因为???0? ???1?? 当0?|x?3|??时? 有

3 |(3x?1)?8|?? ?

所以lim(3x?1)?8?

x?3 (2)lim(5x?2)?12?

x?2 分析 因为

|(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|? 所以要使|(5x?2)?12|?? ? 只须|x?2|?1??

5 证明 因为?? ?0? ????? 当0?|x?2|??时? 有 |(5x?2)?12|?? ? 所以lim(5x?2)?12?

x?22x?4??4? (3)limx??2x?2 分析 因为

22x?4x?4x?4?|x?2|?|x?(?2)|? ?(?4)?x?2x?22x?4?(?4)??? 只须|x?(?2)|??? 所以要使

x?2 证明 因为?? ?0? ????? 当0?|x?(?2)|??时? 有

2 x?4?(?4)???

x?22x?4??4? 所以limx??2x?2

31?4x (4)lim?2? 12x?1x??215 分析 因为

31?4x ?2?|1?2x?2|?2|x?(?1)|? 2x?1231?4x?2??? 只须|x?(?1)|?1?? 所以要使

2x?122 证明 因为?? ?0? ???1?? 当0?|x?(?1)|??时? 有

2231?4x?2???

2x?131?4x所以lim?2? 12x?1x??2 2? 根据函数极限的定义证明?

31?x1? (1)lim?x??2x32 分析 因为

3331?x11?x?x ???13? 3322x2x2|x|31??? 只须1??? 即|x|?1? ?所以要使1?x32x322|x|32? 证明 因为?? ?0? ?X?31? 当|x|?X时? 有

2?31?x1??? ?2x3231?x1? 所以lim?x??2x32 (2)limsinx?0?

x???x 分析 因为

x|1x?0?|sin? sin?

xxx所以要使sinx?0??? 只须1??? 即x?1? 2?xx 证明 因为???0? ?X?1? 当x?X时? 有

?2x?0??? sinx所以limsinx?0?

x???x 3? 当x?2时? y?x2?4? 问?等于多少? 使当|x?2|

|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0?001? 只要|x?2|?0.001?0.0002?

5 取??0?0002? 则当0?|x?2|??时? 就有|x2?4|?0? 001?

4? 当x??时? y?x2?1?1? 问X等于多少? 使当|x|?X时? |y?1|?0?01?

x?32x 解 要使2?1?1?24?0.01? 只要|x|?4?3?397? 故X?397?

0.01x?3x?32 5? 证明函数f(x)?|x|当x?0时极限为零?

证明 因为

|f(x)?0|?||x|?0|?|x|?|x?0|? 所以要使|f(x)?0|??? 只须|x|???

因为对???0? ????? 使当0?|x?0|??? 时有 |f(x)?0|?||x|?0|??? 所以lim|x|?0?

x?0|x| 6? 求f(x)?x, ?(x)?当x?0时的左﹑右极限? 并说明它们在x?0时的极

xx限是否存在? 证明 因为

lim?f(x)?lim?x?lim?1?1?

x?0x?0xx?0x?lim1?1? limf(x)?limx?0?x?0?xx?0? lim?f(x)?lim?f(x)?

x?0x?0所以极限limf(x)存在?

x?0 因为

|x|?lim??x??1?

x?0x?0xx?0x|x|x?1? lim?(x)?lim?limx?0?x?0?xx?0?x lim??(x)?lim? lim??(x)?lim??(x)?

x?0x?0所以极限lim?(x)不存在?

x?0 7? 证明? 若x???及x???时? 函数f(x)的极限都存在且都等于A? 则

x??limf(x)?A?

x???x??? 证明 因为limf(x)?A? limf(x)?A? 所以??>0?

?X1?0? 使当x??X1时? 有|f(x)?A|?? ? ?X2?0? 使当x?X2时? 有|f(x)?A|?? ?

取X?max{X1? X2}? 则当|x|?X时? 有|f(x)?A|?? ? 即limf(x)?A?

x?? 8? 根据极限的定义证明? 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等?

证明 先证明必要性? 设f(x)?A(x?x0)? 则??>0? ???0? 使当0<|x?x0|

|f(x)?A|

因此当x0??

这说明f(x)当x?x0时左右极限都存在并且都等于A ? 再证明充分性? 设f(x0?0)?f(x0?0)?A? 则??>0? ??1>0? 使当x0??10? 使当x0

取??min{?1? ?2}? 则当0<|x?x0|

即f(x)?A(x?x0)?

9? 试给出x??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明?

解 x??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x??时的极限存在? 则存在X?0及M?0? 使当|x|?X时? |f(x)|?M?

证明 设f(x)?A(x??)? 则对于? ?1? ?X?0? 当|x|?X时? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以 |f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

这就是说存在X?0及M?0? 使当|x|?X时? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|? 习题1?4

1? 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之? 解 不一定?

例如? 当x?0时? ?(x)?2x? ?(x)?3x都是无穷小? 但lim穷小?

2? 根据定义证明?

2x (1)y??9当x?3时为无穷小; x?3 (2)y?xsin1当x?0时为无穷小?

x2x?9?|x?3|? 因为???0? ???? ? 当0?|x?3|??时? 有 证明 (1)当x?3时|y|?x?3?(x)2?(x)?? 不是无

x?0?(x)3?(x)